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Lexikon der Mathematik: linear unabhängig

Bezeichnung für eine Teilmenge AV eines Vektorraumes V über K, für die für jede endliche Teilmenge {a1, …, an} von verschiedenen Elementen von A und jede Folge (α1, …, αn) von Elementen aus 𝕂 gilt:

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha }_{i}{x}_{i}=0\Rightarrow {\alpha }_{1}=\cdots ={\alpha }_{n}=0.\end{eqnarray}

Man sagt auch, daß es keine (nichttriviale) Linearkombination der Null gibt. Eine linear unabhängige Menge wird auch als freie Menge bezeichnet.

Eine einelementige Menge {a} ist genau dann linear unabhängig, wenn a ≠ 0 gilt.

Entsprechend ist lineare Unabhängigkeit auch für Teilfamilien eines Vektorraumes definiert. Eine leere Familie (ai)i∈∅ ist stets linear unabhängig (und daher eine Basis des trivialen Vektorraumes {0}). Teilfamilien linear unabhängiger Familien sind selbst linear unabhängig. Ist (vi)iI eine linear unabhängige Familie von Vektoren, so läßt sich jeder Vektor aus der linearen Hülle L((vi)iI) auf eindeutige Weise als Linearkombination der vi darstellen.

Statt „die Menge {v1, …, vn} (die Familie (v1, …, vn)) ist linear unabhängig“, sagt man meist einfach: „Die Vektoren v1, …, vn sind linear unabhängig.“ (linear unabhängiger Vektor).

Auf linear unabhängige Vektormengen kann das Prinzip des Koeffizientenvergleichs angewandt werden: Ist {v1, …, vn} linear unabhängig, so folgt aus

\begin{eqnarray}{\alpha }_{1}{v}_{1}+\cdots +{\alpha }_{n}{v}_{n}={\beta }_{1}{v}_{1}+\cdots +{\beta }_{n}{v}_{n}\end{eqnarray}

stets α1 = β1, …, αn = βn.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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