lineare Transformation, Vektorraumhomomorphismus, Abbildung f : V → U zwischen zwei Vektorräumen V und U über demselben Körper 𝕂, für die für alle v₁, v₂, v ∈ V und alle α ∈ 𝕂 gilt:

\begin{eqnarray}\begin{array}\llf({v}_{1}+{v}_{2})=f({v}_{1})+f({v}_{2}),\\ f(\alpha v)=\alpha f(v).\end{array}\end{eqnarray}

Die erste Bedingung wird als Additivität bezeichnet, die zweite als Homogenität. In der Technik faßt man beide Bedingungen manchmal unter der Bezeichnung Superpositionsprinzip zusammen.

Äquivalent zu dieser Definition ist, daß für alle v₁, v₂ ∈ V und alle α₁, α₂ ∈ 𝕂 gilt:

\begin{eqnarray}f({\alpha }_{1}{v}_{1}+{\alpha }_{2}{v}_{2})={\alpha }_{1}f({v}_{1})+{\alpha }_{2}f({v}_{2}).\end{eqnarray}

Der Definitionsbereich V einer linearen Abbildung f : V → U wird auch Originalraum genannt. Für eine lineare Abbildung f gilt stets f(0) = 0, f(−v) = −f(v) für alle v ∈ V, sowie dim f(V) ≤ dim V.

Grundlegende Eigenschaften sind: Eine lineare Abbildung f : V → U ist durch Vorgabe der Bilder einer Basis von V schon eindeutig festgelegt; jede solche Vorgabe läßt sich zu einer linearen Abbildung fortsetzen. Das Bild eines Unterraumes von V ist ein Unterraum von U, und das Urbild eines Unterraumes von U ist stets ein Unterraum von V.

Das Bild einer linear abhängigen Familie von Vektoren unter einer linearen Abbildung f ist wieder linear abhängig; sind v₁, …, v_n linear unabhängig und ist f injektiv, so sind auch f(v₁), …, f(v_n) linear unabhängig. Eine surjektive lineare Abbildung bildet Erzeugendensysteme stets auf Erzeugendensysteme ab.

Die oft mit L(V, U) bezeichnete Menge aller linearen Abbildungen eines 𝕂-Vektorraumes V in einen 𝕂-Vektorraum U bildet bezüglich der komponentenweise erklärten Verknüpfungen selbst einen 𝕂-Vektorraum, einen Unterraum des Vektorraumes Abb(V, U) aller Abbildungen von V in U. Sind V und U endlich-dimensional, so gilt:

\begin{eqnarray}\dim L(V,U)=\dim V\cdot \dim U.\end{eqnarray}

Die Menge End(V) aller Endomorphismen auf dem 𝕂-Vektorraum V bildet bzgl. Addition und der Komposition von Abbildungen einen nichtkommutativen, nichtnullteilerfreien Ring mit Eins; der Vektorraum End(V) wird mit der Komposition zu einer 𝕂-Algebra.

Eine bijektive lineare Abbildung f : V → U bildet jede Gerade des V zugeordneten affinen Raumes A(V) auf eine Gerade des U zugeordneten affinen Raumes A(U) ab, woher auch der Name „lineare“ Abbildung herrührt; man vergleiche hierzu auch die Ausführungen zum Stichwort lineare Funktion.

Beispiele: (1) Ist A eine (n × m)-Matrix über 𝕂 so ist die Abbildung A : 𝕂^m → 𝕂ⁿ; x ↦ Ax linear. Umgekehrt läßt sich jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen mittels einer Matrix-Vektormultiplikation darstellen. Dies ist eines der Grundprinzipien der Linearen Algebra.

(2) Die Abbildung, die einem Vektor eines n-dimensionalen 𝕂-Vektorraumes V seinen Koordinatenvektor bezüglich einer gegebenen Basis von V zuordnet, ist eine lineare Abbildung (sogar ein Isomorphismus) von V nach 𝕂ⁿ.

(3) Sind V, W und X 𝕂-Vektorräume, und ist f : V → W linear, so sind die durch

\begin{eqnarray}L(X,V)\to L(X,W);\varphi \mapsto f\circ \varphi \end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}W* \to V*; g\mapsto g\circ f\end{eqnarray}

definierten Abbildungen linear (V^∗ bzw. W^∗ bezeichnet den Dualraum von V bzw. W). Im ersten Fall spricht man von einer kovarianten Transformation, im zweiten Fall von einer kontravarianten Transformation.