Spezialfall einer linearen Differentialgleichung.

Die Koeffizientenfunktionen a_i sind hier lediglich Konstanten, d. h. die Differentialgleichung hat die Form

\begin{eqnarray}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{y}^{(n-1)}+\ldots +{a}_{1}{y}^{\prime}+{a}_{0}y=b(x).\end{eqnarray}

Für die zu (1) gehörende entsprechende homogene Gleichung

\begin{eqnarray}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{y}^{(n-1)}+\ldots +{a}_{1}{y}^{\prime}+{a}_{0}y=0.\end{eqnarray}

erhält man mit den (i. a. komplexen) Nullstellen λ₁, …, λ_k des charakteristischen Polynoms der Differentialgleichung χ und deren Vielfachheiten m₁, …, m_k sofort ein komplexes Fundamentalsystem durch die n = m₁ + … + m_k Funktionen

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{y}_{i,j}(x):={x}^{j}{e}^{{\lambda }_{i}x}, & i\in \{1,\ldots, k\},\end{array}\end{eqnarray}

wobei j jeweils alle Werte 0, …, m_i − 1 annimmt.

Sind die Koeffizienten a_i reell, so ist man in der Regel auch an einem reellen Fundamentalsystem interessiert. Seien dazu λ₁, …, λ_r die rein reellen und λ_r+1 = α_r+1 + iβ_r+1, …, λ_s = α_s + iβ_s sowie die λ̅_r+1, …, λ̅_s die (konjugiert) komplexen Nullstellen des charakteristischen Polynoms, jeweils mit der Vielfachheit m_i. Dann bilden die folgenden n = m₁ + …, m_r + 2m_r+1 + … + 2m_s Funktionen ein reelles Fundamentalsystem der homogenen Gleichung (2):

\begin{eqnarray}{y}_{i,j}(x)=\left\{\begin{array}{l}{x}^{j}{e}^{{\lambda }_{i}x}\\ {x}^{j}{e}^{{\alpha }_{i}x}\cos ({\beta }_{i}x)\\ {x}^{j}{e}^{{\alpha }_{i}x}\sin ({\beta }_{i}x)\end{array}\begin{array}{l}i\in \{1,\ldots, r\},\\ i\in \{r+1,\ldots, s\},\end{array}\right.\end{eqnarray}

wobei j wieder jeweils alle Werte 0, …, m_i − 1 annimmt.

Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung (1) erhält man dann sofort mittels Variation der Konstanten.