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Lexikon der Mathematik: lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Spezialfall einer linearen Differentialgleichung.

Die Koeffizientenfunktionen ai sind hier lediglich Konstanten, d. h. die Differentialgleichung hat die Form

\begin{eqnarray}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{y}^{(n-1)}+\ldots +{a}_{1}{y}^{\prime}+{a}_{0}y=b(x).\end{eqnarray}

Für die zu (1) gehörende entsprechende homogene Gleichung

\begin{eqnarray}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{y}^{(n-1)}+\ldots +{a}_{1}{y}^{\prime}+{a}_{0}y=0.\end{eqnarray}

erhält man mit den (i. a. komplexen) Nullstellen λ1, …, λk des charakteristischen Polynoms der Differentialgleichung χ und deren Vielfachheiten m1, …, mk sofort ein komplexes Fundamentalsystem durch die n = m1 + … + mk Funktionen

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{y}_{i,j}(x):={x}^{j}{e}^{{\lambda }_{i}x}, & i\in \{1,\ldots, k\},\end{array}\end{eqnarray}

wobei j jeweils alle Werte 0, …, mi − 1 annimmt.

Sind die Koeffizienten ai reell, so ist man in der Regel auch an einem reellen Fundamentalsystem interessiert. Seien dazu λ1, …, λr die rein reellen und λr+1 = αr+1 + r+1, …, λs = αs + s sowie die λ̅r+1, …, λ̅s die (konjugiert) komplexen Nullstellen des charakteristischen Polynoms, jeweils mit der Vielfachheit mi. Dann bilden die folgenden n = m1 + …, mr + 2mr+1 + … + 2ms Funktionen ein reelles Fundamentalsystem der homogenen Gleichung (2):

\begin{eqnarray}{y}_{i,j}(x)=\left\{\begin{array}{l}{x}^{j}{e}^{{\lambda }_{i}x}\\ {x}^{j}{e}^{{\alpha }_{i}x}\cos ({\beta }_{i}x)\\ {x}^{j}{e}^{{\alpha }_{i}x}\sin ({\beta }_{i}x)\end{array}\begin{array}{l}i\in \{1,\ldots, r\},\\ i\in \{r+1,\ldots, s\},\end{array}\right.\end{eqnarray}

wobei j wieder jeweils alle Werte 0, …, mi − 1 annimmt.

Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung (1) erhält man dann sofort mittels Variation der Konstanten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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