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Lexikon der Mathematik: lineare Differentialgleichung mit periodischen Koeffizienten

Spezialfall der linearen Differentialgleichung.

Die Koeffizienten ai sind hier periodische Funktionen und besitzen alle dieselbe Periode.

Es sei AC0(ℝ, ℂn×n) (also eine komplexe (n × n)-Matrix mit stetigen, auf ℝ definierten Koeffizientenfunktionen) periodisch mit der Periode ω > 0. Dann gelten für das homogene lineare Differentialgleichungssystem

\begin{eqnarray}{\text{y}}^{\prime}=A(t)\text{y}\end{eqnarray}

folgende Aussagen:

  1. Ist y(t) eine Lösung von (1), so ist auch y(t + ω) eine Lösung von (1).
  2. Ist Y ein Fundamentalsystem von (1), so gilt mit C := Y−1(0) · Y(ω) \begin{eqnarray}Y(t+\omega )=Y(t)\cdot C\,{\text{f}}{\rm{\ddot {u}}}{\text{r}}\,{\rm{alle}}\,t\in {\mathbb{R}}.\end{eqnarray}

Die Matrix C ist regulär und abhängig vom gewählten Fundamentalsystem Y, jedoch sind ihre Eigenwerte eindeutig.

Ist λ ein Eigenwert von C, so existiert eine sog. periodische Lösung zweiter Art y von (1) mit

\begin{eqnarray}\text{y}(t+\omega )\text{=}\lambda \text{y}(t).\end{eqnarray}

Ist λ = 1 ein Eigenwert von C, so existiert eine nichttriviale periodische Lösung von (1).

Eine Beschreibung der Struktur der Fundamentalsysteme von (1) liefert der Satz von Floquet (Floquet, Satz von).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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