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Lexikon der Mathematik: lineare Differenzengleichung

eine Differenzengleichung n-ter Ordnung der Funktion y(x), die in y(x) und y(x + ν) für ν ∈ {1, 2, …, n} linear ist.

Jede lineare Differenzengleichung n-ter Ordnung läßt sich in die Form

\begin{eqnarray}(Py)(x)=\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{p}_{i}(x)y(x+i)=q(x)\end{eqnarray}

bringen. Für q(x) = 0 heißt die Differenzengleichung homogen, andernfalls inhomogen.

Als singuläre Punkte einer linearen Differenzengleichung (1) bezeichnet man die singulären Punkte der Funktionen pi, die Nullstellen von p0(x) und von pn(xn), und gegebenenfalls den Unendlichkeitspunkt. Vorausgesetzt wird dabei, daß die pi(x) im Endlichen keine allen gemeinsame Nullstelle und nur wesentliche Singularitäten aufweisen. Dies läßt sich durch Multiplikation von (1) mit einer passenden Funktion stets erreichen.

Man nennt die Funktion φm linear abhängig von φ1, …, φm−1 bzgl. einer homogenen Differenzengleichung, wenn eine Darstellung der Form

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\phi }_{m}(x)=\displaystyle \sum _{i=1}^{m-1}{a}_{i}(x){\phi }_{i}(x), & {a}_{i}(x)={a}_{i}(x+1)\end{array}\end{eqnarray}

existiert, mit ai(x) ≠ 0 bei mindestens einem Punkt, der zu keinem singulärem Punkt kongruent ist.

n linear unabhängige Lösungen fi der homogenen linearen Differenzengleichung n-ter Ordnung (Pf)(x) = 0 bilden ein Fundamentalsystem (Casorati-Determinante).

Ist F eine Lösung der inhomogenen Differenzengleichung (1), so lautet mit beliebigen Funktionen ϱ der Periode 1 die allgemeine Lösung von (1)

\begin{eqnarray}f(x)=F(x)+\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\varrho }_{i}(x){f}_{i}(x),\end{eqnarray}

wobei die Summe gerade die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differenzengleichung ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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