Menge aller Linearkombinationen einer gegebenen Familie (v_i)_i∈I von Vektoren.

Ist (v_i)_i∈I eine Familie von Vektoren eines 𝕂-Vektorraumes V, dann nennt man die Menge

\begin{eqnarray}L({({v}_{i})}_{i\in I}):=\{{\lambda }_{{i}_{1}}{v}_{{i}_{1}}+\cdots +{\lambda }_{{i}_{n}}{v}_{{i}_{n}}|\{{i}_{1},\ldots, {i}_{n}\}\subseteq I;{\lambda }_{{i}_{1}},\ldots, {\lambda }_{{i}_{n}}\in {\mathbb{K}}\}\subseteq V\end{eqnarray}

aller Linearkombinationen, welche mit Vektoren der Familie gebildet werden können, die lineare Hülle von (v_i)_i∈I.

Die lineare Hülle L((v₁, …, v_n)) einer endlichen Familie (v₁, …, v_n) von Vektoren aus V ist also gegeben durch

\begin{eqnarray}\{{\lambda }_{1}{v}_{1}+\cdots +{\lambda }_{n}{v}_{n}|{\lambda }_{1},\ldots, {\lambda }_{n}\in {\mathbb{K}}\}.\end{eqnarray}

Hierfür schreibt man häufig auch ⟨(v₁, …, v_n)⟩ oder einfach ⟨v₁, …, v_n⟩.

Die lineare Hülle einer beliebigen Familie von Vektoren aus V ist stets ein Unterraum von V, der bezüglich Inklusion kleinste Unterraum, der alle Vektoren der Familie enthält. Die lineare Hülle einer leeren Familie (v_i)_i∈∅ ist der Nullraum {0} (da eine leere Familie zusätzlich linear unabhängig ist, bildet sie sogar eine Basis des Nullraumes).

Die lineare Hülle L(M) einer beliebigen Menge M von Vektoren eines Vektorraumes V ist definiert durch

\begin{eqnarray}L(M):=L({(m)}_{m\in M}).\end{eqnarray}

Die lineare Hülle von M ist der kleinste Untervektorraum von V, der M enthält (linear abhängig, linear unabhängig).