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Lexikon der Mathematik: lineare Konvergenz

Konvergenz von der Ordnung 1.

Es sei M ⊆ ℝn und T : M → ℝn eine Abbildung. Ist x ein Fixpunkt von T, so verwendet man zur näherungsweisen Bestimmung des Fixpunktes oft das iterative Verfahren xn+1 = T(xn) mit einer fest gewählten Startnäherung x0. Gibt es dann eine Konstante c und ein p ∈ ℕ so, daß

\begin{eqnarray}\Vert {x}_{n+1}-x^{*} \Vert \le C\cdot {\Vert {x}_{n}-x^{*} \Vert }^{p}\end{eqnarray}

mit 0 ≤ C < 1 für p = 1 und 0 ≤ C für p > 1 gilt, so heißt das durch T erzeugte Verfahren ein Verfahren der Ordnung p, sofern man mit einem x0 aus einer passenden Umgebung von x startet. Für p = 1 nennt man ein solches Verfahren linear konvergent (Konvergenzordnung).

Jedes Verfahren p-ter Ordnung konvergiert lokal, das heißt, es gibt eine Umgebung U von x, so daß für jedes x0U die zugehörige Iterationsfolge xn+1 = T(xn) gegen x konvergiert. Insbesondere ist jedes linear konvergente Verfahren lokal konvergent.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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