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Lexikon der Mathematik: lineares Gleichungssystem

Gleichungssystem der Form

\begin{eqnarray}\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_{1}+{a}_{12}{x}_{2}+\cdots +{a}_{1n}{x}_{n}={b}_{1}\\ {a}_{21}{x}_{1}+{a}_{22}{x}_{2}+\cdots +{a}_{2n}{x}_{n}={b}_{2}\\ \mathrm{.............................................}\\ {a}_{m1}{x}_{1}+{a}_{m2}{x}_{2}+\cdots +{a}_{mn}{x}_{n}={b}_{m}\end{array}\end{eqnarray}

mit Koeffizienten aik, bi ∈ 𝕂 und n „Unbekannten“ x1, …, xn. Mit der sogenannten Koeffizientenmatrix A = (aij) (Matrix) und den Spaltenvektoren b = (b1, …, bn)t (Datenvektor, „rechte Seite“) und x = (x1, …, xn)t läßt sich obiges Gleichungssystem symbolisch schreiben als

\begin{eqnarray}Ax=b.\end{eqnarray}

Ist b der Nullvektor, so spricht man von einem homogenen linearen Gleichungssystem, andernfalls von einem inhomogenen System. Der Rang des linearen Gleichungssystems ist definiert als Rang der Koeffizientenmatrix A.

Unter der Lösungsmenge von Ax = b versteht man die Menge

\begin{eqnarray}L=\{a\in {{\mathbb{K}}}^{n}|Aa=b\}.\end{eqnarray}

Das Gleichungssystem heißt lösbar, wenn L nicht leer ist, es heißt eindeutig lösbar, wenn L einelementig ist; ist das Gleichungssystem für jeden Vektor b lösbar, so nennt man es auch universell lösbar.

Ein lineares Gleichungssystem Ax = b ist beispielsweise genau dann lösbar, falls das Rangkriterium

\begin{eqnarray}Rg(A)=Rg(A|b)\end{eqnarray}

erfüllt ist; dabei bezeichnet A|b die um eine Spalte erweiterte Matrix, die man durch Anfügen des Vektors b rechts an die Matrix A erhält. Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn es maximalen Rang hat; es ist genau dann universell lösbar, wenn es maximalen Rang hat und n = m gilt.

Die Frage nach der Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme ist eines der Grundprobleme der Linearen Algebra und hat deren Entwicklung nachhaltig beeinflußt. Methoden zur numerischen Lösung insbesondere sehr großer linearer Gleichungssysteme, behandelt man in der Numerischen Mathematik, man unterscheidet dort zwischen Verfahren zur direkten Lösung linearer Gleichungssysteme und zur iterativen Lösung linearer Gleichungssysteme.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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