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Lexikon der Mathematik: linksseitige Ableitung einer Funktion

unter Betrachtung nur des linksseitigen Grenzwerts ihres Differenzenquotienten zu einer auf einer Menge D ⊂ ℝ definierten Funkion f : D → ℝ gebildete ‚Ableitung‘.

Es sei \begin{eqnarray}{D}_{-}=\{a\in D|[a-\varepsilon, \,a]\subset D\,\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\text{ein}\,\varepsilon \gt 0\}.\end{eqnarray}

Dann ist die linksseitige Ableitung von f die auf der Menge \begin{eqnarray}{D}_{f^{{\prime}}_{-}}=\left\{a\in {D}_{-}|\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\uparrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\,\text{existiert in}\,{\mathbb{R}}\right\}\end{eqnarray} durch \begin{eqnarray}f^{{\prime}}_{-}(a)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\uparrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\end{eqnarray} definierte Funktion \({f}_{-}^{{\prime}}:{D}_{{f}_{-}^{{\prime}}}\to {\mathbb{R}}\). Genau an den Stellen \(a\in {D}_{{f}_{-}^{{\prime}}}\) heißt f linksseitig differenzierbar. Wof linksseitig differenzierbar ist, ist f auch linksseitig stetig. Die Umkehrung dieser Folgerung ist falsch, wie Beispiele zur Nicht-Differenzierbarkeit zeigen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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