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Lexikon der Mathematik: Liouville, Approximationssatz von

Aussage über die Qualität der Approximation algebraischer Zahlen durch rationale Zahlen:

Zu jeder algebraischen Zahl α ∈ ℂ gibt es eine effektiv berechenbare reelle Konstante c = c(α) > 0 derart, daß für alle p, q ∈ ℤ mit q ≠ 0 und αp/q gilt: \begin{eqnarray}\left|\alpha -\frac{p}{q}\right|\ge \frac{c(\alpha )}{{q}^{\partial (\alpha )}},\end{eqnarray}wobei ∂(α) der Grad von α ist.

Dieser Approximationssatz gibt eine notwendige Bedingung für die Algebraizität einer reellen Zahl α. Damit ist die Negation dieser Bedingung hinreichend dafür, daß α transzendent ist. Liouville benutzte dies zur Konstuktion transzendenter Zahlen mittels unendlicher Kettenbrüche.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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