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Lexikon der Mathematik: Liouville-Arnold, Satz von

manchmal auch als Satz von Arnold bezeichnet, lautet:

Es bezeichne F = (F1,…,Fn) diejenige Abbildung einer 2n-dimensionalen symplektischen Mannigfaltigkeit M in den ℝn, die durch die n Integrale der Bewegung F1,…, Fn eines integrablen Hamiltonschen Systems (M, ω, H) gegeben ist. Es sei μ ein regulärer Wert von F so, daß die Niveaufläche F−1 (μ) nichtleer zusammenhängend und derart ist, daß die Flüsse der n HamiltonFelder der Fk auf F−1(μ) vollständig sind.

Dann gibt es eine natürliche Zahl r zwischen 1 und n so, daß F−1 (μ) diffeomorph zu einem Zylinder (S1)×r × ℝn−r ist (wobei S1den Einheitskreis bezeichnet), und der Fluß der Hamilton-Funktion H quasiperiodisch auf F−1 (μ) verläuft, d. h. durch Translationen, deren Frequenzen bzw. Geschwindigkeiten von der Niveaufläche abhängen, operiert.

Falls F−1(μ) außerdem noch kompakt ist (was die oben erwähnte Vollständigkeit impliziert), so ist r = n, d. h. die Niveaufläche F−1 (μ) ist diffeomorph zu einem n-Torus.

Dieser Satz zeigt in geometrischer Weise, daß integrable Systeme viele invariante Untermannigfaltigkeiten besitzen, auf denen der Fluß in einfacher Weise berechenbar ist.

Ferner liegt in ihm der Ausgangspunkt für die Störungstheorie integrabler Systeme (Satz über den invarianten Torus, Satz von Kolmogorow-Arnold-Moser), was vor allem in der Himmelsmechanik Anwendung fand.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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