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Lexikon der Mathematik: Liouvillesche Abschätzung

eine Verallgemeinerung des Approximationssatzes von Liouville:

Seien α1,…, αs algebraische Zahlen, bezeichne h den Grad des algebraischen Zahlkörpers ℚ(α1,…, αs) über ℚ, sei P ≠ 0 ein Polynom in s Unbekannten mit ganzen Koeffizienten, und bezeichne ∂j (P) den Grad von P in der Unbekannten Xj für j = 1,…,s.

Dann gilt entweder P(α1,…, αs) = 0, oder \begin{array}{l}|P({\alpha }_{1},\ldots, {\alpha }_{s})|\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ge H{(P)}^{1-h}\displaystyle \prod _{j=1}^{s}{((1+\Vert {\alpha }_{j}\Vert )Nen\,{\alpha }_{j})}^{-h{\partial }_{j}(P)}.\end{array}

Dabei bedeuten:

H(P): die „Höhe“ des Polynoms P, d. i. das Maximum der Absolutbeträge der Koeffizienten, ∥α∥: das „Haus“ einer algebraischen Zahl α: \begin{eqnarray}\Vert \alpha \Vert =\mathop{\max }\limits_{1\le j\le \partial (\alpha )}\left|{\alpha }^{(j)}\right|,\end{eqnarray} wobei ∂(α) den Grad von α und die α(j), 1 ≤ j ≤ ∂(α), die Konjugierten der algebraischen Zahl α bezeichnen,

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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