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Lexikon der Mathematik: Lipschitz-Bedingung

Bedingung an eine Funktion f : ℝn+1 → ℝn.

Es sei G ⊂ ℝn+1 eine offene Menge und f : G → ℝn. Mit y ≔ (y1,…,yn) seien (x, y) = (x, y1,…,yn) die Elemente von G. Dann sagt man, f genügt in G bezüglich y einer Lipschitz-Bedingung genau dann, wenn eine Lipschitz-Konstante L > 0 existiert so, daß für alle (x, y1), (x, y2) ∈ G gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\Vert f(x,{{\bf{\text{y}}}}_{1})-f(x,{{\bf{\text{y}}}}_{2})\Vert \le L\Vert {{\bf{\text{y}}}}_{1}-{{\bf{\text{y}}}}_{2}\Vert.\end{array}\end{eqnarray}

Weiterhin genügt f lokal einer Lipschitz-Bedingung bezüglich y, wenn zu jedem Punkt (x0, y0) ∈ G eine Umgebung UG existiert, so daß f in U bezüglich y der Lipschitz-Bedingung genügt.

Man nennt eine solche Funktion f auch eine dehnungsbeschränkte Funktion.

Eine Anwendung findet die Lipschitz-Bedingung in den Existenz- und Eindeutigkeitssätzen zu gewöhnlichen Differentialgleichungen, etwa im Satz von Picard-Lindelöf.

Zu beachten ist, daß die Größe der Lipschitz-Konstanten L zwar abhängig sein kann von der gewählten Norm ∥ · ∥ im ℝn, die Tatsache jedoch, ob f einer Lipschitz-Bedingung (1) genügt, ist unabhängig von der gewählten Norm.

Aus der Lipschitz-Bedingung (1) folgt direkt lediglich die Stetigkeit von f auf den Hyperebenen x = konst., jedoch nicht die Stetigkeit von f in G. Hinreichend dafür, daß f in G lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt ist die stetige partielle Differenzierbarkeit von f nach den Variablen y1,…,yn in ganz G.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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