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Lexikon der Mathematik: Lipschitz-(Hölder-)Klassen

auch Hölder-Klassen, Räume von Funktionen, die (für eine feste Ableitungsordnung und einen festen Exponenten) eine Hölder-Bedingung erfüllen.

Es seien m, n ∈ ℕ, 0 < α ≤ 1 und ∅ ≠ Ω ⊂ ℝn: \begin{array}{l}{C}^{0}({\rm{\Omega }}):=C({\rm{\Omega }}):=\\ \,\,\,\,\,\{f|f:{\rm{\Omega }}\to {\mathbb{R}}\,\text{stetig}\,\text{und}\,\text{beschr}{\ddot{\mathrm a}}\text{nkt}\},\end{array}\begin{eqnarray}{C}^{m}({\rm{\Omega }}):=\{f\in C({\rm{\Omega }})|{D}^{\mu }f\in C({\rm{\Omega }})\,\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,|\mu |\,\,\le m\}.\end{eqnarray}

Dabei sei μ = (μ1,…,μn) ein Multiindex mit μv ∈ ℕ0, (v = 1,…, n), und dafür \begin{eqnarray}|\mu |={\mu }_{1}+\cdots +{\mu }_{n},\end{eqnarray}\begin{eqnarray}{D}^{\mu }f:=\frac{{\partial }^{|\mu |}}{\partial {x}_{1}^{{\mu }_{1}}\ldots \partial {x}_{n}^{{\mu }_{n}}}f.\end{eqnarray}

Auf Cm (Ω) wird durch \begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{m,{\rm{\Omega }}}:={\Vert f\Vert }_{m}:=\displaystyle \sum _{|\mu |=0}^{m}\mathop{\sup }\limits_{x\in {\rm{\Omega }}}|{D}^{\mu }f(x)|\end{eqnarray} eine Norm ∥ ∥m = ∥ ∥m definiert.

Für eine beliebige Funktion h : Ω → ℝ sei \begin{eqnarray}{|h|}_{\alpha }:=\sup\left\{\frac{|h(x)-h(y)}{{\Vert x-y\Vert }^{\alpha }}|x,y\in {\rm{\Omega }}\,\,\text{mit}\,\,x\ne y\right\}.\end{eqnarray} (| |α wird gelegentlich als Hölder-Halbnorm bezeichnet.)

Damit kann nun für Funktionen f in Cm (Ω) über \begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{\alpha, {\rm{\Omega }}}:={\Vert f\Vert }_{\alpha }:=\displaystyle \sum _{|\mu |=m}{|{D}^{\mu }f|}_{\alpha }\end{eqnarray}\begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{m,\alpha, {\rm{\Omega }}}:={\Vert f\Vert }_{m,\alpha }:={\Vert f\Vert }_{m,{\rm{\Omega }}}+{\Vert f\Vert }_{\alpha, {\rm{\Omega }}}\end{eqnarray} definiert werden und schließlich \begin{eqnarray}{C}^{m,\alpha }({\rm{\Omega }}):=\{f\in {C}^{m}({\rm{\Omega }})|{\Vert f\Vert }_{m,\alpha, {\rm{\Omega }}}\lt \infty \}.\end{eqnarray}

(Da ∥fm für eine Funktionen fCm(Ω) endlich ist, kann rechts – statt ∥fm, α < ∞ – auch ∥f ∥α < ∞ geschrieben werden.) Diese Räume sind mit der angegebenen Norm volllständig. Für α = 1 spricht man auch von einer Lipschitz-Klasse. Statt ℝ wird oft auch ℂ als Zielbereich betrachtet.

Lipschitz-(Hölder-)Klassen haben Bedeutung insbesondere in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und in der Potentialtheorie. Sie wurden in den dreißiger Jahren von J. Schauder bei Randwertaufgaben für elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung eingesetzt. Seine Überlegungen wurden später verallgemeinert, u. a. von C. Miranda und L. Nirenberg.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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