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Lexikon der Mathematik: Ljapunow-Bedingung

hinreichende Bedingung für die Gültigkeit des zentralen Grenzwertsatzes.

Ist (Xn)n∈ℕ eine unabhängige Folge von auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\) definierten reellen, quadratisch integrierbaren Zufallsvariablen mit positiven Varianzen Var(Xn), so lautet die Ljapunow-Bedingung:

Es existiert ein nicht notwendig ganzzahliges δ > 0 mit \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{1}{{s}_{n}^{2+\delta }}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}E({|{X}_{i}-E({X}_{i})|}^{2+\delta })=0.\end{eqnarray}

Dabei wurde sn ≔ (Var(X1) +…+ Var(Xn))1/2 gesetzt. Die Ljapunow-Bedingung impliziert die Lindeberg-Bedingung, nicht aber umgekehrt. Sie stellt somit eine stärkere Voraussetzung für die Gültigkeit des zentralen Grenzwertsatzes als jene dar.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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