Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Ljapunow-Bedingung

hinreichende Bedingung für die Gültigkeit des zentralen Grenzwertsatzes.

Ist (Xn)n∈ℕ eine unabhängige Folge von auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\) definierten reellen, quadratisch integrierbaren Zufallsvariablen mit positiven Varianzen Var(Xn), so lautet die Ljapunow-Bedingung:

Es existiert ein nicht notwendig ganzzahliges δ > 0 mit \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{1}{{s}_{n}^{2+\delta }}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}E({|{X}_{i}-E({X}_{i})|}^{2+\delta })=0.\end{eqnarray}

Dabei wurde sn ≔ (Var(X1) +…+ Var(Xn))1/2 gesetzt. Die Ljapunow-Bedingung impliziert die Lindeberg-Bedingung, nicht aber umgekehrt. Sie stellt somit eine stärkere Voraussetzung für die Gültigkeit des zentralen Grenzwertsatzes als jene dar.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte