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Lexikon der Mathematik: Ljapunow-Funktion

eine Funktion, die ein hinreichendes Kriterium für die Stabilität bzw. asymptotische Stabilität (Ljapunow-Stabilität) eines Fixpunktes (Fixpunkt eines Vektorfeldes) eines auf einer offenen Menge W ⊂ ℝn definierten Vektorfeldes liefert.

Seien dazu ein Vektorfeld f : W → ℝn und ein Fixpunkt x0W gegeben. Eine auf einer Umgebung UW von xo definierte stetige Funktion V : U → ℝ heißt Ljapunow-Funktion (für f bzgl. x0), falls gilt:

  1. V ist differenzapunow-Funktioierbar auf U \ {x0},
  2. V(x0) = 0 und V(x) > 0 für xU \ {x0},
  3. DV(x)f (x) ≤ 0 für xU \ {x0}.

Gilt anstelle von 3. die Bedingung

3a. DV (x) f (x) < 0 für x ∈ U \ {x0},

so heißt V strenge Ljapunow-Funktion (für f bzgl. x0).

A. M. Ljapunow führte 1892 in seiner Dissertation das Konzept der Ljapunow-Funktion ein, die durch das folgende Ljapunow-Stabilitätskriterium die Untersuchung von Fixpunkten auf Stabilität ermöglicht:

Sei f : W → ℝn ein auf einer offenen Menge W ⊂ ℝn definiertes Vektorfeld mit einem isolierten Fixpunkt x0W. Existiert für f bzgl. xo eine (strenge) Ljapunow-Funktion, so ist x0 (asymptotisch) stabil.

Die Schwierigkeit liegt i. allg. in der Bestimmung einer Ljapunow-Funktion, jedoch ist z. B. für die Bewegung eines Teilchens in einem Potentialfeld die Gesamtenergie eine solche:

Sei W ∈ ℝn offen und φ : W → ℝ stetig differenzierbar. Ist q0W lokales Minimum von φ, so ist für das Vektorfeld \(\mathop{q}\limits^{.}=p\), \(\mathop{p}\limits^{.}=-\text{grad}\,\phi \)bzgl. des Fixpunktes (q0, 0) ∈ W × ℝn die auf einer geeigneten Umgebung U × AW × ℝn von (q0, 0) definierte Funktion \begin{eqnarray}V(q,p):=\frac{1}{2}{\Vert p\Vert }^{2}+\phi (q)-\phi ({q}_{0})\end{eqnarray}eine Ljapunow-Funktion.

Ljapunow-Funktionen ermöglichen die Formulierung der Ljapunow-Stabilität.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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