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Lexikon der Mathematik: Ljapunow-Stabilität

Konzept zur Untersuchung des Langzeitverhaltens dynamischer Systeme in der Nähe ihrer Fixpunkte (Fixpunkt eines dynamischen Systems).

Sei f : W → ℝn ein auf einer offenen Menge W ⊂ ℝn definiertes Vektorfeld. Ein Fixpunkt x0W heißt Ljapunow-stabil, falls für jede Umgebung UW von x0 eine Umgebung \(\tilde{U}\subset W\) von x0 so existiert, daß gilt:

  1. Für jedes \(\tilde{x}\in \tilde{U}\) existiert die Lösung \({\varphi }_{t}(\tilde{x})\) für alle t > 0,
  2. \({\varphi }_{t}(\tilde{x})\in W\) für alle \(\tilde{x}\in \tilde{U}\) und alle t > 0.

Ein Ljapunow-stabiler Fixpunkt x0 heißt asymptotisch stabil, falls zusätzlich gilt:

3. \({\mathrm{lim}}_{t\to \infty }{\varphi }_{t}(\tilde{x})={x}_{0}\) für alle \(\tilde{x}\in \tilde{U}\).

Ein Fixpunkt x0W heißt instabil, falls er nicht Ljapunow-stabil ist.

Sei (M, d) ein metrischer Raum. Für ein topologisches dynamisches System (M, ℝ, Φ) heißt ein Punkt xM Ljapunow-stabil, falls gilt: \begin{eqnarray}\mathop{\wedge }\limits_{\varepsilon \gt 0}\mathop{\vee }\limits_{\delta \gt 0}\mathop{\wedge }\limits_{y\in M}\mathop{\vee }\limits_{t\ge 0}(d(y,x)\lt \delta \Rightarrow d({\rm{\Phi }}(y,t),{\rm{\Phi }}(x,t))\lt \varepsilon ).\end{eqnarray}

Ein hinreichendes Kriterium für die (asymptotische) Stabilität eines Fixpunktes liefert die Existenz einer Ljapunow-Funktion.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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