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Lexikon der Mathematik: Lösen von Gleichungen

Bestimmen der Lösungsmengen von Gleichungen.

Dies kann je nach Art der Gleichung geschehen durch:

  • Unmittelbares Ablesen der Lösung.
  • Anwenden eines Lösungsverfahrens oder einer Lösungsformel.
  • Ausprobieren aller bzw. eines geeigneten Teils der Elemente des Definitionsbereichs der Gleichung.

Vorbereitend formt man oft die Gleichung unter Benutzung der Regeln für das Rechnen mit Gleichungen zu einer äquivalenten einfacheren Gleichung um, d. h. einer einfacher zu lösenden Gleichung mit gleichem Definitionsbereich und gleicher Lösungsmenge.

Die Gleichung \begin{eqnarray}3{x}_{1}+2{x}_{2}=({x}_{1}+2){x}_{2}\end{eqnarray} mit dem Definitionsbereich ℝ2 formt man z. B. um zur äquivalenten Gleichung \begin{eqnarray}3{x}_{1}={x}_{1}{x}_{2},\end{eqnarray} an der sich die Lösungen x1 = 0 (bei beliebigem x2) und x2 = 3 (bei beliebigem x1 ≠ 0) ablesen lassen, d.h. die Lösungsmenge ist \({\mathbb{L}}={{\mathbb{L}}}_{1}\uplus{{\mathbb{L}}}_{2}\) mit \({{\mathbb{L}}}_{1}=\{0\}\times {\mathbb{R}}\) und \({{\mathbb{L}}}_{2}=({\mathbb{R}}\backslash 0)\times \{3\}\).

Um die Lösungsmenge der Gleichung \begin{eqnarray}5{x}^{2}-2x+3=(x+a)(x+2)\end{eqnarray} mit dem Definitionsbereich ℂ zu bestimmen (wobei a ein Parameter sei), formt man sie um zur äquivalenten Gleichung \begin{eqnarray}4{x}^{2}-(4+a)x+3-2a=0\end{eqnarray} und benutzt dann die Lösungsformel für quadratische Gleichungen mit der Variablen x.

Für die Gleichung x1x2 = 9991 mit dem Definitionsbereich ℕ2 erhält man durch Bestimmen der Primfaktoren von 9991 (also letztlich durch gezieltes Ausprobieren) die Lösungsmenge \({\mathbb{L}}\) = {(1, 9991), (9991,1), (97, 103), (103, 97)}.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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