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Lexikon der Mathematik: Lösungsverifikation bei nichtlinearen Gleichungssystemen

in der Intervallrechnung der Nachweis der Existenz bzw. der Nichtexistenz einer Lösung x*x(0) eines Gleichungssystems f (x) = 0.

Dabei ist f : D ⊆ ℝn → ℝn eine mindestens stetige, nichtlineare Funktion und x(0)D ein Intervallvektor. Im Falle der Existenz von \(x* =({x}_{i}^{* })\) ist die Verifikation meist verbunden mit einer Eindeutigkeitsuntersuchung und einer Schrankenverbesserung bis hin zu einer Einschließung von \({x}_{i}^{* }\) in enge Intervalle, bei denen möglichst viele führende Ziffern der Intervalluntergrenze mit den entsprechenden der Intervallobergrenze übereinstimmen (Zifferngarantie für x*!).

Zu den Verfahren zur Lösungsverifikation bei nichtlinearen Gleichungssysteme gehören das Krawczyk-Verfahren, das Intervall-Newton-Verfahren und ein Verfahren, das auf dem Nullstellensatz von Miranda (Miranda, Nullstellensatz von) basiert, eventuell zusammen mit einer Aufteilung des Ausgangsvektors x(0) in kleinere Intervallvektoren.

Als einfaches Verfahren zur Bereichseinschränkung von x* kann die Intervallauswertung f(x) für Intervallvektoren xx(0) dienen: Gilt 0 ∉ f(x), so enthält f in x wegen der Einschließungseigenschaft der Intervallrechnung sicher keine Nullstelle von f. Im Fall 0 ∈ f(x) kann man wegen der Überschätzung der Intervallauswertung noch nicht auf eine Nullstelle in x schließen. Endgültige Klarheit hierüber schaffen die erwähnten Verfahren.

[1] Alefeld, G.: Introduction to Interval Computations. Academic Press New York, 1983.
[2] Neumaier, A.: Interval Methods for Systems of Equations. Cambridge University Press Cambridge, 1990.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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