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Lexikon der Mathematik: Lösungsverifikation bei quadratischen Gleichungssystemen

in der Intervallrechnung der Nachweis der Existenz einer Lösung \(x* =({x}_{i}^{* })\) eines Gleichungssystems der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}r+Sx+T(x,x)=0 & (1)\end{array}\end{eqnarray} mit einem reellen n-komponentigen Vektor r, einer reellen (n × n)-Matrix S und einem reellen bilinearen Operator \begin{eqnarray}T(x,y)=\left(\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{t}_{ijk}{x}_{k}{y}_{j}\right)\in {{\mathbb{R}}}^{n}.\end{eqnarray}

Im Falle der Existenz von x* ist die Verifikation verbunden mit einer Einschließung und häufig auch mit einer Eindeutigkeitsuntersuchung und einer Schrankenverbesserung bis hin zu einer Einschließung von \({x}_{i}^{* }\) in enge Intervalle, bei denen möglichst viele führende Ziffern der Intervalluntergrenze mit den entsprechenden der Intervallobergrenze übereinstimmen (Zifferngarantie für x*!).

Es gilt der folgende Satz:

Mit den Bezeichnungen von oben, der Maximumsnorm ║·║und, ϱ = ║rσ = ║SI\begin{eqnarray}\tau =\mathop{\max }\limits_{1\le i\le n}\left\{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|{t}_{ijk}|\right\},\end{eqnarray}gelte σ ≤ 1 und Δ = (1 − σ)2 − 4ϱτ ≥ 0.

Dann sind die Zahlen \({\beta }^{-}=(1-\sigma -\sqrt{{\rm{\Delta }}})/(2\tau )\)und \({\beta }^{+}=(1-\sigma -\sqrt{{\rm{\Delta }}})/(2\tau )\)nicht negativ und (1) besitzt für jedes β ∈ [β, β+] wenigstens eine Lösung x* in \begin{eqnarray}{{\bf{\text{x}}}}^{0}={([-\beta,\beta ],\ldots,[-\beta,\beta ])}^{T}.\end{eqnarray}

Die Iterierten \begin{eqnarray}{{\bf{\text{x}}}}^{(k+1)}=r+(S-1){{\bf{\text{x}}}}^{k}+T({\text{x}}^{k},{{\bf{\text{x}}}}^{k}),\,\,k=0,1,\ldots \end{eqnarray}enthalten x*und konvergieren gegen einen Intervallvektor x*.

Für β ∈ [β, (β + β+)/2) ist x* eindeutig in x0und x* = [x*, x*].

[1] Herzberger, J. (ed.): Topics in Validated Computations. North-Holland Amsterdam, 1994.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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