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Lexikon der Mathematik: Lösungsverifikation beim inversen Eigenwertproblem

in der Intervallrechnung der Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit von \({c}_{1}^{* },\ldots,{c}_{n}^{* }\in {\mathbb{R}}\) so, daß \begin{eqnarray}A={A}_{0}+\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{c}_{i}^{* }{A}_{i}\end{eqnarray} für gegebene reelle symmetrische (n × n)-Matrizen Ai vorgeschriebene Eigenwerte \({\lambda }_{1}^{* }\lt {\lambda }_{2}^{* }\lt \ldots \lt {\lambda }_{n}^{* }\) besitzt.

Die Aufgabenstellung wird meist ergänzt durch eine Schrankenverbesserung bis hin zu einer Einschließung von \({c}_{i}^{* }\) in ein enges Intervall, bei dem möglichst viele führende Ziffern der Intervalluntergrenze mit den entsprechenden der Intervallobergrenze übereinstimmen (Zifferngarantie für \({c}_{i}^{* }\)!).

Eines der Verfahren zur Lösungsverifikation basiert auf dem Newton-Verfahren, angewandt auf die Funktion f (c) = λ(c) − λ* mit c = (ci) ∈ ℝn, \({\lambda }^{* }=({\lambda }_{i}^{* })\) und λ(c) = (λi(c)) ∈ ℝn. Dabei bezeichnet λi(c) den i-ten Eigenwert (wachsende Ordnung) der zu A analogen, mit ci anstelle von \({c}_{i}^{* }\) gebildeten Matrix A(c). Ist xi(c) der zu λi(c) gehörende Eigenvektor mit xi(c)Txi(c) = 1 und sign \({({x}^{i}(c))}_{{i}_{0}}\gt 0\) für eine gewisse Komponente i0, so lautet die Newton-Gleichung \begin{eqnarray}\left({x}^{i}{(c)}^{T}{A}_{j}{x}^{i}(c)\right)({c}^{(k+1)}-c(k))=-(\lambda (c(k))-{\lambda }^{* }).\end{eqnarray}

Sie bildet den Ausgangspunkt sowohl für die Berechnung einer Näherung von \({c}_{i}^{* }\) als auch einem Verifkationsverfahren.

[1] Herzberger, J. (ed.): Topics in Validated Computations. North-Holland Amsterdam, 1994.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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