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Lexikon der Mathematik: Log-Komplex

Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit oder glatte algebraische Varietät und D ein effektiver Divisor, der nur normale Kreuzungen besitzt. Sei weiterhin \({{\rm{\Omega }}}_{X}^{* }(* D)\) der de Rham-Komplex meromorpher Differentialformen mit Polen in D.

Der Log-Komplex Ω* (log D) ist der Unterkomplex, der lokal von \({{\rm{\Omega }}}_{X}^{* }\) und Differentialformen der Form \begin{eqnarray}\frac{d{f}_{1}}{{f}_{1}}\wedge \ldots \wedge \frac{d{f}_{p}}{{f}_{p}}\end{eqnarray} erzeugt wird, wobei f1,…,fp lokale Gleichungen von Komponenten von D sind. Wenn D glatt ist, erhält man exakte Folgen \begin{eqnarray}0\to {{\rm{\Omega }}}_{X}^{p}\to {{\rm{\Omega }}}_{X}^{p}(\mathrm{log}D)\to {i}_{* }{{\rm{\Omega }}}_{D}^{p-1}\to 0,\end{eqnarray} wobei i : DX die Einbettung bedeutet, durch \(\eta \wedge \frac{df}{f}\mapsto \eta \,|\,D\) für \(\eta \in {{\rm{\Omega }}}_{X}^{p-1}\). Hier ist f die lokale Gleichung von D.

Die Abbildung \({{\rm{\Omega }}}_{X}^{p}(log\,D)\to {i}_{* }{{\rm{\Omega }}}_{D}^{p-1}\) heißt auch Poincare-Residuum. Es gilt: Die Hyperkohomologie des Komplexes \({{\rm{\Omega }}}_{X}^{* }(log\,D)\) ist isomorph zu H* (X \ D, ℂ).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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