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Lexikon der Mathematik: logarithmische Reihe

die Potenzreihe \begin{eqnarray}\lambda (z):=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}{z}^{n}\end{eqnarray} mit dem Konvergenzradius R = 1.

Für \(z\in {\mathbb{E}}\) gilt λ(z) = Log (1 + z), wobei Log den Hauptzweig des Logarithmus einer komplexen Zahl bezeichnet.

Die Reihe konvergiert ebenfalls für jedes \(z\in \partial {\mathbb{E}}\backslash \{-1\}\) gegen Log(1 + z). Setzt man speziell z = 1, so erhält man für den Wert der alternierenden harmonischen Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}=\mathrm{log}\,2.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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