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Lexikon der Mathematik: logarithmische Spirale

gleichwinklige Spirale, ebene Kurve mit der Parametergleichung \begin{eqnarray}\alpha (\varphi )=a({e}^{b\varphi }\cos \varphi, {e}^{b\varphi }\sin \varphi )\end{eqnarray} bzw. in Polarkoordinaten ϱ(ϕ) = ae, wobei a und b Konstanten sind.

Wenn ein vom Ursprung O der Koordinatenebene ausgehender Strahl sich mit konstanter Geschwindigkeit 1 um O dreht, beschreibt ein Punkt, der sich auf diesem Strahl so bewegt, daß sein Abstand von O den Wert v = ae hat (ϕ = Drehwinkel), eine logarithmische Spirale. Ihre Krümmungsfunktion ist \begin{eqnarray}k(\varphi )=\frac{{e}^{-b\varphi }}{a\sqrt{1+{b}^{2}}}=\frac{1}{\varrho (\varphi )\sqrt{1+{b}^{2}}}.\end{eqnarray}

Sie schneidet die vom Ursprung ausgehenden Strahlen unter einem konstanten Winkel ϑ, der durch \begin{eqnarray}\cos \vartheta =\frac{b}{\sqrt{1+{b}^{2}}}\end{eqnarray} gegeben ist. Daher rührt die Bezeichnung gleichwinklige Spirale. Auf dieser Eigenschaft basieren auch Anwendungen für die Formgebung von Messern rotierender Schneidemaschinen (z. B. Häckslern) und von Turbinenrädern.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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