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Lexikon der Mathematik: logarithmische Transformation

Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Es sei B eine glatte projektive algebraische Kurve und \(X\mathop{\to }\limits^{\pi }B\) eine elliptische Fläche (Klassifikation von Flächen). Eine singuläre Faser X0 heißt m-fache Faser, wenn X0 = mF gilt und F primitiv ist (d. h. nicht durch natürliche Zahlen d > 1 teilbar in Div (X)). Im Falle m > 1 ist F glatt oder vom Typ Ib (dieser entsteht aus ℙ1 × ℤ/bℤ durch Identifizierung der Punkte \((\infty, \bar{v})\) und \((0,\bar{v+1})\), v = 0,…, b−1). Hierbei ist ℙ1 als Kompaktifizierung der Gruppe GL1 anzusehen, d.h., es sind drei Punkte 0,1, ∞ ausgezeichnet.

Dann ist \begin{eqnarray}{F}^{0}=F\backslash {F}^{\text{sing}}=G{l}_{1}\times {\mathbb{Z}}/m{\mathbb{Z}}\end{eqnarray} ein Gruppenschema, und F0 operiert auf F durch \begin{eqnarray}[t,\bar{v}][x,\bar{\mu }]=[tx,\bar{v}+\bar{\mu }].\end{eqnarray}

Logarithmische Transformationen beschreiben, wie man solche m-fachen Fasern durch eine lokale Konstruktion aus einer elliptischen Fläche mit einfacher Faser erhält: Dazu fixiert man einen Punkt 0 ∈ B so, daß die Faser X0 glatt oder vom Typ Ib ist, und ein λ0 ∈ Pic (X0) von der Ordnung m (Picard-Gruppe). Über einer geeigneten Umgebung Δ von 0 in B (im Sinne der analytischen Topologie oder der Etaltopologie) erhält man eine Fortsetzung λ von λ0 auf XΔ = X ×B Δ und einen Schnitt σ0 von XΔ → Δ durch den Punkt [1, 0] von X0 = F so, daß λ einem Schnitt σ der Ordnung m (im Sinne der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven, mit σ0(t) als Nullpunkt) entspricht. Sei \(\tilde{{\rm{\Delta }}}\mathop{\to }\limits^{p}{\rm{\Delta }}\)m-fache zyklische Überlagerung von Δ, verzweigt in 0, so daß \({\rm{\Delta }}=\tilde{{\rm{\Delta }}}/G\) ist, G zyklische Gruppe der Ordnung m, \(\tilde{o}\in \tilde{{\rm{\Delta }}}\) der Fixpunkt von G, und gG ein erzeugendes Element. In Koordinaten heißt dies: p(s) = sm, sg = ξs, wobei ξ primitive m-te Einheitswurzel ist. Sei \(\tilde{X}\mathop{\to }\limits^{\alpha }X{\times }_{B}\tilde{{\rm{\Delta }}}\) minimale Auflösung der Singularitäten von \(X{\times }_{B}\tilde{{\rm{\Delta }}}\). Die Operation von G auf \(\tilde{{\rm{\Delta }}}\) läßt sich auf \(\tilde{X}\) so liften, daß die Projektion \(\tilde{X}\to \tilde{{\rm{\Delta }}}\)G-äquivariant ist: Auf \({X}_{{\rm{\Delta }}}{\times }_{{\rm{\Delta }}}\tilde{{\rm{\Delta }}}\) operiert G durch \begin{eqnarray}(x,s)g=(x+\sigma (\pi (x)),sg),\end{eqnarray} und dies setzt sich auf \(\tilde{X}\) fort. Sei schließlich \({\tilde{{\rm{\Delta }}}}^{* }\to {X}_{{\rm{\Delta }}}\) ein Morphismus mit π(ϕ(s)) = p(s) und ϕ(s) − ϕ(sg) = σ(p(s)).

Ein Beispiel: Im analytischen Kontext kann man für Δ und \(\tilde{{\rm{\Delta }}}\) die Einheitskreisscheibe wählen und p(s) = sm. Wenn XΔ glatt ist, so ist XΔ bis auf Isomorphie von der Form ℂ* × Δ/ℤ, wobei ℤ über eine analytische Funktion q : Δ → Δ* operiert durch (z, t) + v ↦ (zq(t)v, t), und man kann den Isomorphismus so wählen, daß σ(t) = [ξ, t] mit einer primitiven m-ten Einheitswurzel. Die Gruppenoperation auf ℂ* × Δ/ℤ ist [z1, t] + [z2, t] = [z1z2, t], und ϕ(s) = [s−1, sm] hat die gewünschten Eigenschaften. Mit Hilfe einer solchen Funktion erhält man:

(1) Die Abbildung \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}(x,s) & \mapsto & (x+\varphi (s),{s}^{m})\\ {X}_{{\rm{\Delta }}}{\times }_{{\rm{\Delta }}}{\tilde{{\rm{\Delta }}}}^{* } & \to & {X}_{{\rm{\Delta }}}|{{\rm{\Delta }}}^{* }\end{array}\end{eqnarray} induziert einen Isomorphismus \begin{eqnarray}(\tilde{X}/G)|{{\rm{\Delta }}}^{* }\simeq {X}_{{\rm{\Delta }}}|{{\rm{\Delta }}}^{* }.\end{eqnarray}

(2) \(\tilde{X}/G={X}_{{\rm{\Delta }}}^{{\prime}}\) ist glatt, und die Faser \({X}_{0}^{{\prime}}\) über 0 hat die Form mF, F vom Typ Imb.

Aufgrund des Isomorphismus (1) kann man also X \ X0 mit \({X}_{{\rm{\Delta }}}^{{\prime}}\) längs \({X}_{{\rm{\Delta }}}^{{\prime}}-{X}_{0}^{{\prime}}\) verkleben und erhält eine neue elliptische Fläche \({X}^{{\prime}}\mathop{\to }\limits^{{\pi }^{{\prime}}}B\) mit einer mfachen Faser über 0.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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