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Lexikon der Mathematik: Logarithmus einer komplexen Zahl

zu einer komplexen Zahl z ≠ 0 eine Zahl w ∈ ℂ derart, daß \begin{eqnarray}{e}^{w}=z.\end{eqnarray}

Da die Exponentialfunktion die komplexe Ebene ∈ surjektiv auf die punktierte Ebene ℂ* = ℂ \{0} abbildet und die Periode 2πi besitzt, existieren zu jedem z ∈ ℂ* stets unendlich viele Logarithmen w ∈ ℂ. Jedes solche w ist von der Form \begin{eqnarray}w=\mathrm{log}|z|+i\arg z.\end{eqnarray}

Dabei ist argz ein Argument von z, und für x > 0 ist log x die eindeutig bestimmte reelle Zahl mit elogx = x. Man schreibt w = logz unter Beachtung der Vieldeutigkeit. (Man beachte, daß in funktionentheoretischem Kontext der (natürliche) Logarithmus (Logarithmusfunktion) meist mit log bezeichnet wird, während man ihn in der Tradition der reellen Analysis zumeist mit ln bezeichnet). Je zwei Logarithmen von z unterscheiden sich also durch ein additives ganzzahliges Vielfaches von 2πi.

Derjenige Wert von w = logz mit Im w ∈ (−π, π] heißt der Hauptwert des Logarithmus von z. Man benutzt dafür auch die Bezeichnung Log z. Gelegentlich wird der Wert von w = logz mit Im w ∈ [0, 2π) als Hauptwert bezeichnet.

Eine positive reelle Zahl x besitzt die Logarithmen logx + 2kπi, k ∈ ℤ, während eine negative reelle Zahl x die Logarithmen log |x| + (2k + 1)πi, k ∈ ℤ besitzt. Weiter gilt \(\text{Log}\,i=\frac{\pi }{2}i\).

Bei der Anwendung des aus dem Reellen bekannten Logarithmengesetzes log(xy) = logx + logy, x, y > 0 ist im Komplexen Vorsicht geboten. Sind z1, z2 ∈ ℂ*, so unterscheiden sich log (z1z2) und logz1 + logz2 im allgemeinen um ein additives ganzzahliges Vielfaches von 2πi. Für Re z1 > 0, Re z2 > 0 gilt aber \begin{eqnarray}\text{Log}({z}_{1}{z}_{2})=\text{Log}\,{z}_{1}+\text{Log}\,{z}_{2}.\end{eqnarray}

Der Hauptzweig des Logarithmus ist die in der geschlitzten Ebene ℂ = ℂ \ (−∞, 0] holomorphe Funktion f mit f (z) = Log z für z ∈ ℂ. Insgesamt existieren abzählbar unendlich viele in ℂ holomorphe Zweige des Logarithmus, nämlich die Funktionen fk mit fk (z) = Logz + 2kπi für z ∈ ℂ und k ∈ ℤ. Dabei ist f0 der Hauptzweig. Keiner dieser Zweige ist in einen Punkt x0 ∈ (−∞, 0] stetig fortsetzbar. Die Funktion fk vermittelt eine konforme Abbildung von ℂ auf den Horizontalstreifen \begin{eqnarray}\{z\in {\mathbb{C}}:(2k-1)\pi \lt \mathrm{Im}z\lt (2k+1)\pi \}.\end{eqnarray}

Dabei wird ein Strahl St = {reit : r > 0}, t ∈ (−π, π) bijektiv auf die horizontale Gerade Ht = {x + (t + 2)i : x ∈ ℝ} abgebildet. Weiter wird die offene Kreislinie Kr = {reit : −π < t < π}, r > 0 bijektiv auf die Strecke \begin{eqnarray}{L}_{r}=\{\mathrm{log}\,r+iy:(2k-1)\pi \lt y\lt (2k+1)\pi \}\end{eqnarray} abgebildet.

Allgemeiner existiert in jedem einfach zusammenhängenden Gebiet G ⊂ ℂ mit 0 ∉ G ein holomorpher Zweig des Logarithmus, d. h. es gibt eine in G holomorphe Funktion g mit eg(z) = z für zG. Dabei ist der Zweig durch die Festlegung eines Werts von g an einer festen Stelle z0G eindeutig bestimmt. Außerdem existiert in jedem einfach zusammenhängenden Gebiet G und zu jeder in G holomorphen Funktion h, die in G keine Nullstellen besitzt, ein holomorpher Zweig des Logarithmus von h, d. h. eine in G holomorphe Funktion g mit eg(z) = h(z) für zG. Die Eindeutigkeit erreicht man ebenfalls durch Festlegung eines Werts für g(z0).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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