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Lexikon der Mathematik: Logarithmusfunktion zu allgemeiner Basis

Logarithmus, die aufgrund der strengen Monotonie und Surjektivität der Exponentialfunktion expa : ℝ → (0, ∞) zur Basis a ∈ (0, ∞) \ {1} zu dieser existierende Umkehrfunktion, also die Funktion \begin{eqnarray}{\mathrm{log}}_{a}={\exp }_{a}^{-1}:(0,\infty )\to {\mathbb{R}}\end{eqnarray} mit loga ax = x für x ∈ ℝ und \({a}^{{\mathrm{log}}_{a}x}=x\) für x > 0. Mit expa ist auch loga streng antiton für a < 1 und streng isoton für a > 1. Mit der Logarithmusfunktion ln gilt \({\mathrm{log}}_{a}x=\frac{\mathrm{ln}x}{\mathrm{ln}a}\) für x > 0, insbesondere loge = ln. Aus den Eigenschaften von ln erhält man leicht die Eigenschaften von loga. So ist etwa loga differenzierbar mit \({\mathrm{log}}_{a}^{{\prime}}(x)=\frac{1}{x\,\mathrm{ln}\,a}\) für x > 0, es ist loga 1 = 0 und logaa = 1, und es gilt die Funktionalgleichung \begin{eqnarray}{\mathrm{log}}_{a}(xy)={\mathrm{log}}_{a}x+{\mathrm{log}}_{a}y\,\,\,\,\,\,\,\,(x,y\gt 0)\end{eqnarray} und damit \begin{eqnarray}{\mathrm{log}}_{a}\frac{x}{y}={\mathrm{log}}_{a}x-{\mathrm{log}}_{a}y,\end{eqnarray} insbesondere \({\mathrm{log}}_{a}\frac{1}{y}=-{\mathrm{log}}_{a}y\). Ferner gelten \({\mathrm{log}}_{a}{x}^{\alpha }=\alpha\,{\mathrm{log}}_{a}\,x\) für α ∈ ℝ und \({\mathrm{log}}_{{a}^{r}}x=\frac{1}{r}\,{\mathrm{log}}_{a}\,x\) für r ∈ ℝ \ {0}.

Die Funktionalgleichung zeigt unter Beachtung von loga 1 = 0, daß loga : ((0, ∞), ·) → (ℝ, +) ein Gruppenisomorphismus ist. Die Logarithmusfunktion zu allgemeiner Basis wird durch die Funktionalgleichung charakterisiert: Ist f : (0, ∞) → ℝ stetig an der Stelle 1 und nicht die Nullfunktion, und gilt f (xy) = f (x) + f (y) für alle x, y ∈ (0, ∞), so gibt es genau ein a ∈ ℝ mit f (a) = 1, und es ist f = loga.

Außer dem natürlichen Logarithmus ln = loge werden manchmal auch der Briggssche oder gewöhnliche oder dekadische Logarithmus lg = log10 und der Duallogarithmus oder dyadische Logarithmus ld = log2 benutzt.

Durch die Funktionalgleichung des Logarithmus wird die Multiplikation reeller Zahlen auf die Addition zurückgeführt. In Gestalt von Logarithmentafeln gewannen deswegen die Logarithmen im 17. Jahrhundert (John Neper 1614, Henry Briggs 1624) große Bedeutung für das praktische Rechnen. Von Pierre Simon Marquis de Laplace stammt die Aussage, daß die Logarithmen durch die Zeitersparnis beim Rechnen die Lebenszeit der Astronomen verdoppelten. Durch die Erfindung von (ebenfalls die Logarithmen benutzenden) Rechenschiebern, mechanischen und später elektronischen Rechenmaschinen trat diese Bedeutung der Logarithmen in den Hintergrund, aber die Logarithmusfunktion ist weiterhin in vielen Gebieten der Mathematik und ihrer Anwendungen allgegenwärtig.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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