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Lexikon der Mathematik: Logarithmusfunktion

auch als natürliche Logarithmusfunktion, natürlicher Logarithmus oder logarithmus naturalis bezeichnet, die aufgrund der strengen Isotonie und Surjektivität der Exponentialfunktion exp : ℝ → (0, ∞) zu dieser existierende, streng isotone Umkehrfunktion, also die Funktion ln = exp−1 : (0, ∞) → ℝ mit ln(exp(x)) = x für x ∈ ℝ und exp(ln x) = x für x > 0. Nach dem Satz über die Differentiation der Umkehrfunktion ist ln differenzierbar mit \({\mathrm{ln}}^{{\prime}}(x)=\frac{1}{x}\) für x > 0. Aus exp(0) = 1 und exp(1) = e mit der Eulerschen Zahl e folgen ln 1 = 0 und ln e = 1. Oft wird für die Logarithmusfunktion auch die Bezeichnung log benutzt.

Ferner gilt ln xα = α ln x für x > 0 und α ∈ ℝ. Aus \({\mathrm{ln}}^{{\prime}}(x)=\frac{1}{x}\) und ln 1 = 0 erhält man \begin{eqnarray}\mathrm{ln}\,x=\displaystyle \underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{t}dt\,\,\,\,\,\,\,\,(x\gt 0)\end{eqnarray} (worüber man den Logarithmus auch einführen kann), und aus dem Additionstheorem der Exponentialfunktion folgt die Funktionalgleichung \begin{eqnarray}\mathrm{ln}\,(xy)=\mathrm{ln}\,x+\mathrm{ln}\,y\,\,\,\,\,\,\,\,(x,y\gt 0)\end{eqnarray}

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Logarithmusfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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und damit \(\mathrm{ln}\frac{x}{y}=\mathrm{ln}\,x-\mathrm{ln}\,y\), speziell \(\mathrm{ln}\frac{1}{y}=-\mathrm{ln}\,y\). Es gilt ln x → −∞ für x ↓ 0 und ln x → ∞ für x → ∞. Für α > 0 folgt etwa aus den Regeln von de l’Hôpital xα ln x → 0 für x ↓ 0 und x−α ln x → 0 für x → ∞, d. h. ln wächst langsamer als jede Potenz. Für −1 < x ≤ 1 hat man die 1668 von Nicolaus Mercator angegebene Mercator-Reihe: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\mathrm{ln}\,(1+x) & = & \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}\\ & = & x-\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{x}^{3}}{3}-\frac{{x}^{4}}{4}\pm \ldots \end{array}\end{eqnarray}

Durch Einsetzen von x = 1 erhält man die zuerst 1659 von Pietro Mengoli in seinem Werk „Geometria speziosa“ angegebene Mengoli-Reihe \begin{eqnarray}\mathrm{ln}\,2=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\pm \ldots, \end{eqnarray} die wie die Leibniz-Reihe für π für praktische Rechnungen viel zu langsam konvergiert.

Mit der Logarithmusfunktion loga zu allgemeiner Basis a gilt ln = loge. Es existiert auch für komplexe Werte von x eine Verallgemeinerung der Logarithmusfunktion, deren Verhalten unter dem Stichwort Logarithmus einer komplexen Zahl beschrieben ist; insbesondere ist die Mercator-Reihendarstellung auch für komplexe Zahlen (die betragsmäßig kleiner als 1 sind) noch definiert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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