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Lexikon der Mathematik: logistische Gleichung

die im folgenden eingeführte Gleichung (1).

Die Abbildung f : ℝ → ℝ, xrx(1 − x) mit r > 0, die sog. logistische Parabel, führt durch Iteration auf ein eindimensionales diskretes dynamisches System. Bezeichnet man den Zustand des Systems zum Zeitpunkt n ∈ ℕ0 mit xn, so gilt also \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{x}_{n+1}=f({x}_{n})=r{x}_{n}(1+{x}_{n}).\end{array}\end{eqnarray}

Diese Gleichung wird logistische Gleichung genannt.

Die logistische Gleichung wurde 1845 von Verhulst eingeführt, weswegen man sie auch als Verhulst-Gleichung bezeichnet.

Die Größe einer Population zum Zeitpunkt n ∈ ℕ0 werde mit yn bezeichnet. Bei unbegrenztem Raum und unbegrenzter Nahrungszufuhr kann die Wachtumsrate \(\frac{{y}_{n+1}-{y}_{n}}{{y}_{n}}\) proportional zur Größe yn der Population angenommen werden.

Die realen Beschränkungen sollen durch die Abnahme der Wachstumsrate proportional zur Größe der Population simuliert werden. Dies führt dazu, einen Zusammenhang der Form \begin{eqnarray}\frac{{y}_{n+1}-{y}_{n}}{{y}_{n}}=\lambda -\mu {y}_{n}\end{eqnarray} mit λ, μ > 0 anzunehmen. Durch Umskalieren gelangt man schließlich zur logistischen Gleichung (1).

Dieses einfache nichtlineare dynamische System zeigt bereits eine sehr komplexe Struktur. Das Stabilitätsverhalten seiner Fixpunkte (Fixpunkt eines dynamischen Systems) hängt empfindlich vom Parameter r ab. Das Quadrat von f besitzt die Fixpunkte \begin{eqnarray}{x}_{1,2}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{r}\pm \sqrt{(1+\frac{1}{r})(1-\frac{1}{3})}\right).\end{eqnarray}

Das ursprüngliche System bewegt sich also immer zwischen den beiden Zuständen x1 und x2. Für weitere kritische Werte von r findet eine Periodenverdopplung statt.

Bezeichnet rk den k-ten Wert von r, bei dem dies der Fall ist, so gilt \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to \infty }\frac{{r}_{k}-{r}_{k-1}}{{r}_{k+1}-{r}_{k}}=4,\,669201609\ldots =:\delta \end{eqnarray} mit der sog. Feigenbaum-Konstanten δ (Feigenbaum-Bifurkation). Siehe auch logistische Differentialgleichung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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