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Lexikon der Mathematik: lokal flach

Eigenschaft von Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) heißt lokal flach, wenn ihr Riemannscher Krümmungstensor verschwindet. Von B. Riemann (1861) stammt das folgende Resultat:

M ist genau dann lokal flach, wenn es in einer Umgebung U eines jeden Punktes xM ein lokales Koordinatensystem (x1,…, xn) gibt, in dem die lokalen Koeffizienten gij der Riemannschen Metrik konstante Funktionen auf U sind.

Gleichwertig dazu ist die Existenz einer lokalen Isometrie (Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten) von U auf eine offene Teilmenge des pseudounitären Raumes \({{\mathbb{R}}}_{l}^{n}\) vom selben Index l wie die Metrik g.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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