wichtige Klasse kohärenter Garben.

Sei X eine quasiprojektive Varietät und \({\mathcal{F}}\) eine Garbe von \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-Moduln, wobei \({{\mathcal{O}}}_{X}\) die Strukturgarbe von X bezeichne. \({\mathcal{F}}\) heißt frei vom Rang r, wenn ein Isomorphismus \({\mathcal{F}}\cong {{\mathcal{O}}}_{X}^{r}\) besteht. Die 0-Garbe faßt man als frei vom Rang 0 auf. Man nennt \({\mathcal{F}}\) eine lokal freie Garbe (von endlichem Rang), wenn es zu jedem Punkt p ∈ X eine offene Umgebung U und ein r_p ∈ ℕ₀ gibt mit \({\mathcal{F}}|U\cong {{\mathcal{O}}}_{U}^{{r}_{p}}\). In dieser Situation gilt dann \({{\mathcal{F}}}_{p}|U\cong {{\mathcal{O}}}_{X,p}^{{r}_{p}}\), wobei r_p durch \({\mathcal{F}}\) und p bestimmt ist, denn es gilt \({r}_{p}={\dim }_{{\mathbb{C}}}({{\mathcal{F}}}_{p}/{{\mathfrak{m}}}_{X,p}{{\mathcal{F}}}_{p})\). Man nennt r_p den Rang von \({\mathcal{F}}\) in p und schreibt dafür \(r{g}_{p}({\mathcal{F}})\). Es gelten die beiden folgenden Aussagen:

1. Ist \({\mathcal{F}}\) frei vom Rang r, U ⊂ X offen, dann ist \({\mathcal{F}}|U\) frei vom Rang r.
2. Ist \({\mathcal{F}}\) eine freie Garbe vom Rang r, dann ist \({\mathcal{F}}\) lokal frei, und für alle p ∈ X gilt \(r{g}_{p}({\mathcal{F}})=r\).

Lokal freie Garben sind kohärent.

Sei X eine quasiprojektive Varietät, \({\mathcal{F}}\)eine kohärente Garbe von \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-Moduln und p ∈ X. Dann sind äquivalent:

Weiterhin gilt:

Eine kohärente Garbe von \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-Moduln ist genau dann lokal frei, wenn ihre Halme freie Moduln sind.

Als weitere Anwendung des ersten Satzes ergibt sich die lokale Konstanz des Ranges:

Sei \({\mathcal{F}}\)eine lokal freie Garbe von \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-Moduln und p ∈ X. Dann ist \(r{g}_{p}({\mathcal{F}})=r{g}_{p}({\mathcal{F}})\)für alle Punkte q einer geeigneten offenen Umgebung U ⊆ X von p.