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Lexikon der Mathematik: lokal freie Garbe

wichtige Klasse kohärenter Garben.

Sei X eine quasiprojektive Varietät und \({\mathcal{F}}\) eine Garbe von \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-Moduln, wobei \({{\mathcal{O}}}_{X}\) die Strukturgarbe von X bezeichne. \({\mathcal{F}}\) heißt frei vom Rang r, wenn ein Isomorphismus \({\mathcal{F}}\cong {{\mathcal{O}}}_{X}^{r}\) besteht. Die 0-Garbe faßt man als frei vom Rang 0 auf. Man nennt \({\mathcal{F}}\) eine lokal freie Garbe (von endlichem Rang), wenn es zu jedem Punkt pX eine offene Umgebung U und ein rp ∈ ℕ0 gibt mit \({\mathcal{F}}|U\cong {{\mathcal{O}}}_{U}^{{r}_{p}}\). In dieser Situation gilt dann \({{\mathcal{F}}}_{p}|U\cong {{\mathcal{O}}}_{X,p}^{{r}_{p}}\), wobei rp durch \({\mathcal{F}}\) und p bestimmt ist, denn es gilt \({r}_{p}={\dim }_{{\mathbb{C}}}({{\mathcal{F}}}_{p}/{{\mathfrak{m}}}_{X,p}{{\mathcal{F}}}_{p})\). Man nennt rp den Rang von \({\mathcal{F}}\) in p und schreibt dafür \(r{g}_{p}({\mathcal{F}})\). Es gelten die beiden folgenden Aussagen:

  1. Ist \({\mathcal{F}}\) frei vom Rang r, UX offen, dann ist \({\mathcal{F}}|U\) frei vom Rang r.
  2. Ist \({\mathcal{F}}\) eine freie Garbe vom Rang r, dann ist \({\mathcal{F}}\) lokal frei, und für alle pX gilt \(r{g}_{p}({\mathcal{F}})=r\).

Lokal freie Garben sind kohärent.

Sei X eine quasiprojektive Varietät, \({\mathcal{F}}\)eine kohärente Garbe von \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-Moduln und pX. Dann sind äquivalent:

  • \({{\mathcal{F}}}_{p}\cong {{\mathcal{O}}}_{X,p}^{r}\)
  • Es gibt eine offene Umgebung UX von p mit \({\mathcal{F}}|U\cong {{\mathcal{O}}}_{U}^{r}\)
  • Weiterhin gilt:

    Eine kohärente Garbe von \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-Moduln ist genau dann lokal frei, wenn ihre Halme freie Moduln sind.

    Als weitere Anwendung des ersten Satzes ergibt sich die lokale Konstanz des Ranges:

    Sei \({\mathcal{F}}\)eine lokal freie Garbe von \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-Moduln und pX. Dann ist \(r{g}_{p}({\mathcal{F}})=r{g}_{p}({\mathcal{F}})\)für alle Punkte q einer geeigneten offenen Umgebung UX von p.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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