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Lexikon der Mathematik: lokale Abschätzung von Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung

lokale Abschätzung für eine mögliche Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung, die auf die globale Existenz einer Lösung schließen läßt.

Sei f :n+1 → ℝ eine C1-Funktion. Wir betrachten für x0 ∈ ℝn das Anfangswertproblem \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{{\bf{\text{x}}}}^{{\prime}}(t)=f({\bf{\text{x}}}(t),t),\,\,\,\,{\bf{\text{x}}}(0)={{\bf{\text{x}}}}_{0}.\end{array}\end{eqnarray}

Weiter existiere zu T > 0 eine auf (−T, T) definierte Lösung von (1), sowie eine Konstante C > 0 mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\Vert {\bf{\text{x}}}(t)\Vert \le C\,\,\,\,\, f\ddot{u}r\,\,t\in (-T,T).\end{array}\end{eqnarray}

Dann existiert zu (1) eine eindeutige Lösung mit ganzals Existenzintervall.

Man bezeichnet (2) als a priori-Abschätzung für die Lösung des Anfangswertproblems (1).

Beispiel: Für das Anfangswertproblem \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{x}^{{\prime}}(t)=\sin x(t),\,\,\,\,\,\,x(0)={x}_{0}\end{array}\end{eqnarray} erfüllt eine Lösung die Integral-Gleichung t \begin{eqnarray}x(t)={x}_{0}+\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin x(\tau )\,d\tau.\end{eqnarray}

Da für x ∈ ℝ | sin x| ≤ 1 ist, folgt: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}|x(t)|\le |{x}_{0}|+2T & (t\in (-T,T)).\end{array}\end{eqnarray}

Daher existiert für (3) eine eindeutige Lösung, die auf ganz ℝ definiert ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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