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Lexikon der Mathematik: lokale Eigenschaften einer Funktion

Eigenschaften einer Funktion, die sie an gewissen Stellen oder in hinreichend kleinen Umgebungen gewisser Stellen ihres Definitionsbereichs besitzt.

Man sagt, eine Funktion habe eine Eigenschaft lokal an einer Stelle a ihres Definitionsbereichs, wenn es eine Umgebung von a gibt, in der sie diese Eigenschaft hat. Beispielsweise heißt eine Funktion lokal konvex an einer Stelle a, wenn es eine Umgebung von a gibt, auf der sie konvex ist.

Man sagt, eine Funktion habe eine Eigenschaft lokal, wenn sie diese Eigenschaft lokal an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs hat. So heißt eine Funktion z. B. lokal konstant, wenn es zu jeder Stelle ihres Definitionsbereichs eine Umgebung gibt, auf der sie konstant ist.

Zweckmäßigerweise unterscheidet man dabei zwischen Eigenschaften, aus deren lokalem Vorliegen an jeder Stelle des Definitionsbereichs die entsprechende ‚globale‘ Eigenschaft der Funktion folgt, und solchen, bei denen dies nicht notwendigerweise der Fall ist. Ein Beispiel für das erstere ist die Stetigkeit: Ist eine Funktion stetig an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs, so ist sie definitionsgemäß stetig. Hingegen folgt etwa aus der lokalen Beschränktheit einer Funktion an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs (Beschränktheit in einer geeignet kleinen Umgebung) nicht, daß die Funktion beschränkt ist, wie schon das Beispiel f : ℝ → ℝ mit f (x) = x zeigt. Manchmal folgt die globale Eigenschaft beim Vorliegen zusätzlicher Eigenschaften. Beispielsweise ist eine lokal konstante Funktion auf einem zusammenhängenden topologischen Raum konstant.

Geht es speziell um Wachstums- oder Krümmungseigenschaften einer Funktion f lokal um eine Stelle a, so spricht man auch vom lokalen Verhalten von f an der Stelle a.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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