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Lexikon der Mathematik: lokale Haarsche Bedingung

eine Übertragung des Konzepts der Haarschen Bedingung (Haarscher Raum) auf die kompliziertere Situation der nichtlinearen Approximation.

Es sei W = {Fα} eine (i. allg. nicht linear) von einem Parametervektor \begin{eqnarray}\alpha =({\alpha }_{1},\ldots, {\alpha }_{N})\in A\subseteq {{\mathbb{R}}}^{N}\end{eqnarray} abhängende Teilmenge von C[a, b]. Die Funktionen von W seien stetig nach allen Parameterwerten partiell differenzierbar, und es bezeichne \begin{eqnarray}T(\alpha )=\text{Span}\left\{\frac{\partial {F}_{\alpha }}{\partial {\alpha }_{1}},\ldots, \frac{\partial {F}_{\alpha }}{\partial {\alpha }_{N}}\right\}\end{eqnarray} den Tangentialraum von W in α.

Dann erfüllt W die lokale Haarsche Bedingung, wenn T(α) für alle αA ein Haarscher Raum ist.

Gemeinsam mit der globalen Haarschen Bedingung ermöglicht die lokale Haarsche Bedingung eine Charakterisierung der besten Approximation auch im nichtlinearen Fall durch eine dem Alternantensatz ähnliche Aussage.

Im linearen Fall (d. h., {Fα} ist ein linearer Raum) sind globale, lokale und gewöhnliche Haarsche Bedingung identisch.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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