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Lexikon der Mathematik: lokale Nullmenge

Nullmenge bezüglich eines speziellen Maßes auf einem lokalkompakten Raum.

Es seien T ein lokalkompakter topologischer Raum und ϕ ein auf dem Raum C0 der auf T stetigen reellen Funktionen mit kompaktem Träger definiertes Radonsches Maß. Weiterhin sei U die Menge der auf T unterhalb stetigen Funktionen, die eine Minorante aus C0 besitzen, und O die Menge der auf T oberhalb stetigen Funktionen, die eine Majorante aus C0 besitzen. Für gO und hU setzt man \begin{eqnarray}\bar{\varphi }(g)=\inf \{\varphi (r)|g\le r,r\in {C}^{0}\}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\bar{\varphi }(h)=\sup \{\varphi (r)|h\ge r,r\in {C}^{0}\}.\end{eqnarray}

Damit kann man das obere und das untere Integral einer beliebigen Funktion f definieren durch \begin{eqnarray}{{\rm{\Phi }}}_{o}(f)=\inf \{\bar{\varphi }(h)|f\le h,h\in U\}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{{\rm{\Phi }}}_{u}(f)=\sup \{\bar{\varphi }(g)|f\ge g,g\in O\}.\end{eqnarray}

Eine Funktion f heißt dann summierbar, wenn Φo(f) = Φu(f) gilt und beide endlich sind. In diesem Fall nennt man Φ(f) = Φo(f) = Φu(f) das Integral von f. Ist nun für eine Teilmenge M von T IM die Indikatorfunktion von M, so heißt M meßbar, falls IMA für jede kompakte Menge A summierbar ist. Man kann in diesem Fall durch \begin{eqnarray}\mu (M)=\sup \{{\rm{\Phi }}({I}_{M\cap A})|A\,\text{komoakt}\}\end{eqnarray} ein Maß definieren. Eine Menge M heißt dann eine lokale Nullmenge, falls μ(M) = 0 gilt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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