Nullmenge bezüglich eines speziellen Maßes auf einem lokalkompakten Raum.

Es seien T ein lokalkompakter topologischer Raum und ϕ ein auf dem Raum C⁰ der auf T stetigen reellen Funktionen mit kompaktem Träger definiertes Radonsches Maß. Weiterhin sei U die Menge der auf T unterhalb stetigen Funktionen, die eine Minorante aus C⁰ besitzen, und O die Menge der auf T oberhalb stetigen Funktionen, die eine Majorante aus C⁰ besitzen. Für g ∈ O und h ∈ U setzt man \begin{eqnarray}\bar{\varphi }(g)=\inf \{\varphi (r)|g\le r,r\in {C}^{0}\}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\bar{\varphi }(h)=\sup \{\varphi (r)|h\ge r,r\in {C}^{0}\}.\end{eqnarray}

Damit kann man das obere und das untere Integral einer beliebigen Funktion f definieren durch \begin{eqnarray}{{\rm{\Phi }}}_{o}(f)=\inf \{\bar{\varphi }(h)|f\le h,h\in U\}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{{\rm{\Phi }}}_{u}(f)=\sup \{\bar{\varphi }(g)|f\ge g,g\in O\}.\end{eqnarray}

Eine Funktion f heißt dann summierbar, wenn Φ_o(f) = Φ_u(f) gilt und beide endlich sind. In diesem Fall nennt man Φ(f) = Φ_o(f) = Φ_u(f) das Integral von f. Ist nun für eine Teilmenge M von T I_M die Indikatorfunktion von M, so heißt M meßbar, falls I_M∩A für jede kompakte Menge A summierbar ist. Man kann in diesem Fall durch \begin{eqnarray}\mu (M)=\sup \{{\rm{\Phi }}({I}_{M\cap A})|A\,\text{komoakt}\}\end{eqnarray} ein Maß definieren. Eine Menge M heißt dann eine lokale Nullmenge, falls μ(M) = 0 gilt.