Umkehrfunktion der Einschränkung einer Funktion auf eine Umgebung eines Punktes ihres Definitionsbereichs.

Wenn eine Funktion f : D → ℝ^m, wobei D ⊂ ℝⁿ sei, nicht injektiv und daher nicht umkehrbar ist, kann man versuchen, zu einem gegebenen Punkt a ∈ D eine Umgebung U zu finden, für die die Einschränkung f_/U : U → ℝ^m injektiv ist und damit eine Umkehrfunktion (f_/U⁾⁻¹ : f (U) → U besitzt. Der Satz über die Differentiation der Umkehrfunktion nennt hinreichende Bedingungen für die Existenz einer lokalen Umkehrfunktion.

Selbst die Existenz lokaler Umkehrfunktionen an allen Stellen des Definitionsbereichs reicht i. a. nicht aus, um die globale Umkehrbarkeit zu sichern, wie schon das Beispiel f : ℝ → ℝ mit f (x) = x + 1 für x < 0 und f (x) = x − 1 für x ≥ 0 zeigt. Auch unter stärkeren Voraussetzungen an f, wie stetige Differenzierbarkeit, folgt aus lokaler Umkehrbarkeit an jeder Stelle nicht die globale Umkehrbarkeit, wie man etwa an der differenzierbaren Funktion f : ℝ² → ℝ² mit \begin{eqnarray}f\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{e}^{x}\cos y\\ {e}^{x}\sin y\end{array}\right)\qquad(x,y\in {\mathbb{R}})\end{eqnarray} sieht. Ihre Ableitung f′ ist stetig und überall invertierbar und damit f überall lokal umkehrbar, jedoch tritt jeder Punkt aus ℝ² \ {0} unendlich oft als Bildpunkt von f auf.