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Lexikon der Mathematik: lokaler Ring

Ring mit genau einem Maximalideal.

Sei A ein kommutativer Ring mit Einselement und A* die Gruppe der Einheiten. A heißt dann lokaler Ring, wenn \({\mathfrak{m}}=A\backslash {A}^{* }\) ein Ideal ist. Jedes echte Ideal ist in \({\mathfrak{m}}\) enthalten, daher ist \(k=A/{\mathfrak{m}}\) ein Körper.

Es gilt das Lemma von Nakayama:

Wenn \({M}^{{\prime}}\mathop{\to }\limits^{\varphi }M\)eine A-lineare Abbildung von A-Moduln und M endlich erzeugt ist, so ist ϕ genau dann surjektiv, wenn die induzierte Abbildung \begin{eqnarray}{M}^{{\prime}}{\otimes }_{A}k\to M{\otimes }_{A}k=M/{\mathfrak{m}}M\end{eqnarray}surjektiv ist.

Die Zahl e = dimK(MA k) heißt Einbettungsdimension von M. e ist also die kleinste Anzahl von Erzeugenden von M als A-Modul. Wenn \({\mathfrak{m}}\) selbst endlich erzeugt ist, nennt man \({\dim }_{k}({\mathfrak{m}}/{{\mathfrak{m}}}^{2})\) die Einbettungsdimension des Ringes A.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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