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Lexikon der Mathematik: lokales Martingal

ein auf dem mit der Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\in [0,\infty )}\) versehenen Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\) definierter stochastischer Prozeß (Xt)t∈[0,∞) mit Werten in \(({\mathbb{R}},{\mathfrak{B}}({\mathbb{R}}))\), für den erstens die Zufallsvariable X0\({{\mathfrak{A}}}_{0}\text{-}{\mathfrak{B}}({\mathbb{R}})\)-meßbar ist und zweitens eine Folge (τn)n∈ℕ von Stoppzeiten bezüglich \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\in [0,\infty )}\) existiert, welche P-fast sicher monoton wächst und mit wachsendem n gegen Unendlich strebt, d. h. τn ↑ ∞ (P-f.s.), so daß der Prozeß \begin{eqnarray}{({X}_{t\wedge {\tau }_{n}}-{X}_{0})}_{t\in [0,\infty )}\end{eqnarray} für jedes n ∈ ℕ ein Martingal bezüglich \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\in [0,\infty )}\) ist.

Dabei bezeichnet \({X}_{t\wedge {\tau }_{n}}\) für jedes n ∈ ℕ und t ≥ 0 die durch \begin{eqnarray}{X}_{t\wedge {\tau }_{n}}:{\rm{\Omega }}\ni \omega \to {X}_{\min (t,{\tau }_{n}(\omega ))}(\omega )\in {\mathbb{R}}\end{eqnarray} definierte Abbildung und \({\mathfrak{B}}({\mathbb{R}})\) die σ-Algebra der Borelschen Mengen von ℝ.

Für Prozesse mit Parametermenge ℕ0 wird der Begriff des lokalen Martingals entsprechend definiert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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