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Lexikon der Mathematik: lokales Wachstumsverhalten

Wachstumsverhalten einer Funktion f : D → ℝ mit D ⊂ ℝ in einer hinreichend kleinen Umgebung einer gegebenen inneren Stelle aD. Von Interesse ist dabei insbesondere, ob f

  • an der Stelle a wächst, d. h. ob es ein ϵ > 0 so gibt, daß f (x) ≤ f (a) für x ∈ (aϵ, a) gilt und f (a) ≤ f (x) für x ∈ (a, a + ϵ), oder ob f an der Stelle a sogar streng wächst, d. h. jeweils sogar, < ‘ gilt,
  • an der Stelle a fällt, d. h. ob es ein ϵ > 0 so gibt, daß f (x) ≥ f (a) für x ∈ (aϵ, a) gilt und f (a) ≥ f (x) für x ∈ (a, a + ϵ), oder ob f an der Stelle a sogar streng fällt, d. h. jeweils sogar, >‘ gilt,
  • an der Stelle a ein lokales Extremum hat.

Ist f an der Stelle a differenzierbar mit f′(a) > 0 bzw. f′(a) < 0, so wächst bzw. fällt f an der Stelle a streng. Daraus folgt jedoch nicht, daß f in einer Umgebung von a monoton wäre, wie die Beispiele zur Monotonie von Funktionen zeigen – es werden ja nur die Funktionswerte in einer Umgebung von a mit f(a) verglichen, aber nicht miteinander.

Ist f an der Stelle a differenzierbar mit f′ (a) = 0, so kann f dennoch an der Stelle a streng wachsen oder fallen, wie etwa das Beispiel f : ℝ → ℝ mit f (x) = x3 zeigt. Der Satz von Maclaurin (Maclaurin, Satz von) erlaubt Aussagen über das Wachstumsverhalten.

Selbst bei stetig differenzierbaren Funktionen braucht keiner der obigen Fälle vorzuliegen, wie man etwa an der Funktion f : ℝ → ℝ mit \begin{eqnarray}f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^{3}\sin \frac{1}{x} &, & x\ne 0\\ 0 &, & x=0\end{array}\right.\end{eqnarray} sieht, die in jeder Umgebung von 0 „zwischen ±x3 pendelt“.

Oben wurde vorausgesetzt, daß a im Inneren des Definitionsbereichs von f liegt. Natürlich kann man auch das, einseitige‘ Wachstumsverhalten einer Funktion an einer Randstelle eines Intervalls oder allgemeiner einem Häufungspunkt ihres Definitionsbereichs untersuchen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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