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Lexikon der Mathematik: Lokalisierung einer Kategorie

ordnet jeder Kategorie eine weitere Kategorie zu, in der gewisse Morphismen zu Isomorphismen werden.

Sei \({\mathcal{C}}\) eine Kategorie. Eine Menge von Morphismen S aus \({\mathcal{C}}\) heißt ein multiplikatives System, falls gilt:

  1. Aus f, gS folgt fgS, und alle Identitätsmorphismen 1X sind in S für \(X\in Ob({\mathcal{C}})\).
  2. Alle Paare von Morphismen \begin{eqnarray}A\mathop{\to }\limits^{u}B\mathop{\leftarrow }\limits^{s}C\end{eqnarray} mit sS können ergänzt werden durch Paare von Morphismen \begin{eqnarray}A\mathop{\leftarrow }\limits^{t}D\mathop{\to }\limits^{v}C\end{eqnarray} mit tS so, daß gilt: ut = sv.
  3. Alle Paare von Morphismen \begin{eqnarray}A\mathop{\leftarrow }\limits^{u}B\mathop{\to }\limits^{s}C\end{eqnarray} mit sS können ergänzt werden durch Paare von Morphismen \begin{eqnarray}A\mathop{\to }\limits^{t}D\mathop{\leftarrow }\limits^{v}C\end{eqnarray} mit tS so, daß gilt: tu = vs.
  4. Seien f, g : AB zwei Morphismen in \({\mathcal{C}}\). Dann sind äquivalent:
    1. Es gibt ein s : BB′ aus S so, daß gilt sf = sg.
    2. Es gibt ein t: A′ → A aus S so, daß gilt ft = gt.

Die Lokalisierung \({\mathcal{C}}\) nach einer multiplikativen Menge S ist eine Kategorie \({{\mathcal{C}}}_{S}\) zusammen mit einem Funktor \(Q:{\mathcal{C}}\to {{\mathcal{C}}}_{S}\) derart, daß gilt:

  1. Q(s) ist ein Isomorphismus für alle sS.
  2. Jeder Funktor \(F:{\mathcal{C}}\to {\mathcal{D}}\) in eine weitere Kategorie \({\mathcal{D}}\), für den F(s) ebenfalls ein Isomorphismus für alle sS ist, faktorisiert in eindeutiger Weise durch den Funktor Q, d. h. es gibt einen Funktor \(\bar{F}:{{\mathcal{C}}}_{S}\to {\mathcal{D}}\) mit \(F=\bar{F}\circ Q\).

Die Lokalisierung \({{\mathcal{C}}}_{S}\) einer Kategorie \({\mathcal{C}}\) nach einer multiplikativen Menge S existiert, für die Objektmengen gilt \(Ob({{\mathcal{C}}}_{S})=Ob({\mathcal{C}})\). Die Morphismen von A nach B können (allerdings nicht eindeutig) dargestellt werden durch Paare von Morphismen (f, s) aus \({\mathcal{C}}\)\begin{eqnarray}A\mathop{\leftarrow }\limits^{s}C\mathop{\to }\limits^{f}B\end{eqnarray} mit sS.

Die Lokalisierung wird z. B. in der Konstruktion der derivierten Kategorie benutzt. Es ist möglich, die Lokalisierung nach einer Menge S zu konstruieren, selbst wenn S kein multiplikatives System bildet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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