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Lexikon der Mathematik: Lokalisierung

Konstruktion eines Ringes aus einem gegebenen Ring R.

Es sei R ein kommutativer Ring mit Einselement und SR ein multiplikativ abgeschlossenes System, d. h. s, s′ ∈ S impliziert ss′ ∈ S, und \begin{eqnarray}{R}_{S}=\left\{\frac{a}{b}|a\in R,b\in s\right\}/\sim \end{eqnarray} mit \(\frac{a}{b}\sim \frac{{a}^{\prime}}{{b}^{\prime}}\) genau dann, wenn ein sS existiert so, daß s(ab′ − ab) = 0.

RS ist auf natürliche Weise ein Ring und heißt die Lokalisierung von R nach S. Wenn S die Menge der Nichtnullteiler von R ist, dann ist RS der Quotientenring von R.

Wenn ℘ ⊆ R ein Primideal ist, dann ist SR \ ℘ multiplikativ abgeschlossen und \({R}_{{S}_{\wp }}=:{R}_{\wp }\) ein lokaler Ring.

Die Konstruktion der Lokalisierung verallgemeinert die Bildung von Quotientenkörpern.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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