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Lexikon der Mathematik: Lorentz-Räume

Verallgemeinerungen der Funktionenräume Lp(μ) und der Folgenräume p.

Sei (Ω, Σ, μ) ein Maßraum und f : Ω → ℂ meßbar. Man setze \begin{eqnarray}{d}_{f}(s)=\mu \{\omega :|f(\omega )|\gt s\}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{f}^{* }(t)=\inf \{s:{d}_{f}(s)\le t\}\end{eqnarray} für 0 ≤ t < μ(Ω) bzw. f* (t) = 0 für tμ(Ω).

f* heißt die fallende Umordnung von f; f* hat dieselbe Verteilung bzgl. des Lebesgue-Maßes wie | f| bzgl. μ, d.h. df = df*. Für 0 < p < ∞ und 0 < q ≤ ∞ setze man \begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{p,q}={\left(\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{({t}^{1/p}{f}^{* }(t))}^{q}\frac{dt}{t}\right)}^{1/q}\end{eqnarray} im Fall q < ∞, und \begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{p,\infty }=\mathop{\sup }\limits_{t\ge 0}{t}^{1/p}{f}^{* }(t).\end{eqnarray}

Der Lorentz-Raum Lp,q(μ) besteht aus allen (Äquivalenzklassen von) meßbaren Funktionen f mit ∥fp,q < ∞.

Auf dem Raum Lp,q(μ) ist ∥·∥p,q eine Quasinorm (im Fall 1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ p sogar eine Norm), und (Lp,q(μ), ∥ · ∥p,q) ist ein Quasi-Banachraum. Man kann im Fall 1 < p < q ≤ ∞ jedoch eine äquivalente Banachraum-Norm finden.

Ist p = q, so erhält man offensichtlich Lp,p(μ) = Lp(μ) und ∥fp, p = ∥fp; die Räume Lp,∞(μ) heißen auch schwache Lp-Räume. Es gilt stets \({L}^{p,{q}_{1}}(\mu )\subset {L}^{p,{q}_{2}}(\mu )\) für q1q2, und für endliche Maße hat man \({L}^{{p}_{1},{q}_{1}}(\mu )\supset {L}^{{p}_{2},{q}_{2}}(\mu )\) für p1 < p2 und beliebige qj.

Im Fall des zählenden Maßes auf ℕ wird Lp,q(μ) mit p,q bezeichnet. Eine äquivalente (Quasi-) Norm ist hier \begin{eqnarray}{\Vert ({s}_{n})\Vert }_{p,q}^{\prime}=\mathop{\sup }\limits_{\pi }{\left(\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{|{s}_{\pi (n)}|}^{q}{n}^{q/p-1}\right)}^{1/q}\end{eqnarray} bzw \begin{eqnarray}{\Vert ({s}_{n})\Vert }_{p,\infty }^{\prime}=\mathop{\sup }\limits_{\pi }\,{n}^{1/p}|{s}_{\pi (n)}|,\end{eqnarray} wobei sich das Supremum über alle Permutationen π : ℕ → ℕ erstreckt. Es gilt \({\ell }^{{p}_{1},{q}_{1}}\subset {\ell }^{{p}_{2},{q}_{2}}\) für p1 < p2 und beliebige qj oder für p1 = p2 und q1q2. Ist (sn) ∈ p,q mit q < ∞, so strebt die fallende Umordnung \(({s}_{n}^{* })\) schneller gegen 0 als n1/p; der zweite Index q spezifiziert ein weiteres logarithmisches Abklingverhalten. Beispielsweise ist (sn) mit s1 = 0 und sn = n1/p(log n)−1/q+ϵ sonst für jedes ϵ > 0 in p,q.

Die Lorentz-Räume treten in der Interpolationstheorie linearer Operatoren auf. Ferner sind viele Operatoren, die für p > 1 als Operatoren von Lp nach Lp stetig sind, nicht mehr für p = 1 stetig, wohl aber von L1 nach L1,∞; ein Beispiel ist die Hilbert-Transformation.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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