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Lexikon der Mathematik: LR-Zerlegung

Zerlegung einer Matrix A ∈ ℝn×n in das Produkt A = LR, wobei L eine untere Dreiecksmatrix und R eine obere Dreiecksmatrix ist.

Ist A regulär, so existiert stets eine Permutationsmatrix P ∈ ℝn×n so, daß PA eine LR-Zerlegung besitzt. Hat L dabei eine Einheitsdiagonale, d. h. \begin{eqnarray}L=\left(\begin{array}{cccc}1 & & & \\ {\ell }_{21} & 1 & & \\ \vdots & \ddots & \ddots & \\ {\ell }_{n1} & \ldots & {\ell }_{n,n-1} & 1\end{array}\right),\end{eqnarray} so ist die Zerlegung eindeutig.

Das Ergebnis des Gauß-Verfahrens zur direkten Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = b kann als LR-Zerlegung von PA interpretiert werden, wobei P eine Permutationsmatrix ist.

Die Berechnung der LR-Zerlegung einer Matrix A ist insbesondere dann vorteilhaft, wenn ein lineares Gleichungssystem Ax(j) = b(j) mit derselben Koeffizientenmatrix A ∈ ℝn×n und mehreren rechten Seiten b(j) zu lösen ist. Nachdem die LR-Zerlegung von A berechnet wurde, kann jedes der Gleichungssysteme durch einfaches Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen gelöst werden.

Dazu führt man einen Hilfsvektor c(j) = Rx(j) ein und löst zunächst Lc(j) = b(j) durch Vorwärtseinsetzen. Dann bestimmt man den Lösungsvektor x(j) aus Rx(j) = c(j) durch Rückwärtseinsetzen.

Die LR-Zerlegung muß also nur einmal berechnet werden, das nachfolgende Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen benötigt im Vergleich zur Berechnung der LR-Zerlegung nur sehr wenige arithmetische Operationen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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