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Lexikon der Mathematik: Majorante einer Reihe

zu einer Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{a}_{v}\) eine Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{b}_{v}\), für die mit einem N ∈ ℕ \begin{eqnarray}|{a}_{v}|\le |{b}_{v}|\,\,\,\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\,\,{\mathbb{N}}\ni v\ge N\end{eqnarray} gilt, deren Glieder also „schließlich“ die Glieder der gegebenen Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{a}_{v}\) betraglich majorisieren.

Umgekehrt heißt dann \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{a}_{v}\) Minorante zu \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{b}_{v}\). Zunächst ist hierbei an eine Reihe mit Gliedern in ℝ gedacht. Aber die Betrachtung von Reihen mit Gliedern in ℂ oder allgemeiner zumindest noch in einem normierten Vektorraum – wenn man nur den Betrag | | durch die gegebene Norm ║ ║ ersetzt – ist möglich.

Besitzt eine gegebene Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{a}_{v}\) eine absolut konvergente Majorante, so ist sie selbst absolut konvergent und damit (bei Gliedern aus ℝ oder allgemeiner aus einem Banachraum) konvergent mit \begin{eqnarray}\left|\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}\right|\le \displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }|{a}_{v}|.\end{eqnarray}

Oft herangezogene Majoranten sind – mit a ∈ [0, ∞) und r ∈ [0, 1) – \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }a\,{r}^{v}\,\,\,\text{und}\,\,\,\,\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }a\frac{1}{{v}^{2}}.\end{eqnarray}

Auf dem Vergleich mit der ersten Reihe beruhen Wurzelkriterium und Quotientenkriterium.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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