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Lexikon der Mathematik: Mandelbrot-Menge

durch Iteration quadratischer Polynome wie folgt definierte Menge:

Für c ∈ ℂ sei fc das quadratische Polynom \begin{eqnarray}{f}_{c}(z):={z}^{2}+c,\end{eqnarray} und \({f}_{c}^{n}\) die n-te iterierte Abbildung von fc. Die Mandelbrot-Menge \({\mathcal{M}}\) ist die Menge aller c ∈ ℂ derart, daß die Folge \(({f}_{c}^{n}(0))\) beschränkt ist. Sie spielt eine wichtige Rolle bei der Iteration rationaler Funktionen, genauer bei der Iteration quadratischer Polynome fc. Die Namensgebung stammt von Douady, da Mandelbrot (1980) die erste Computergraphik von \({\mathcal{M}}\) erzeugt hat. Aufgrund des Aussehens nennt man \({\mathcal{M}}\) auch „Apfelmännchen“. Es zeigt sich, daß \({\mathcal{M}}\) eine sehr komplizierte Menge ist.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Mandelbrot-Menge
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Mandelbrot-Menge, das „Apfelmännchen”

Die Definition der Menge \({\mathcal{M}}\) ist u. a. durch folgende Tatsache motiviert. Ist c ∈ \({\mathcal{M}}\), so ist die Julia-Menge \({{\mathcal{J}}}_{c}\) von fc zusammenhängend. Für c ∉ \({\mathcal{M}}\) ist hingegen \({{\mathcal{J}}}_{c}\) total unzusammenhängend (eine Cantor-Menge), d.h. jede Zusammenhangskomponente von \({{\mathcal{J}}}_{c}\) besteht nur aus einem Punkt.

Zunächst werden einige elementare Eigenschaften von \({\mathcal{M}}\) zusammengestellt.

  1. Für c ∉ \({\mathcal{M}}\) gilt \({f}_{c}^{n}(0)\to \infty (n\to \infty )\).
  2. Es gilt \begin{eqnarray}{\mathcal{M}}=\{c\in {\mathbb{C}}:|{f}_{c}^{n}(0)|\le 2\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\text{alle}\,\,n\in {{\mathbb{N}}}_{0}\}.\end{eqnarray}
  3. Es ist \({\mathcal{M}}\) eine kompakte Menge und |c| ≤ 2 für alle c ∈ \({\mathcal{M}}\). Weiter ist \({\mathcal{M}}\) symmetrisch bezüglich der reellen Achse.
  4. Es ist \( {\mathcal M} \cap {\mathbb{R}}=[-2,\frac{1}{4}]\). Weiter enthält \({\mathcal{M}}\) die Kardioide \begin{eqnarray}{{\mathcal{H}}}_{0}:=\{w\in {\mathbb{C}}:|1-\sqrt{1-4w}|\lt 1\},\end{eqnarray} die man auch Hauptkardioide nennt. Man erhält \({ {\mathcal H} }_{\text{0}}\) als Bild der offenen Kreisscheibe B1/2 (0) unter der Abbildung \begin{eqnarray}z\mapsto w=z-{z}^{2}=\frac{1}{4}-{\left(z-\frac{1}{2}\right)}^{2}.\end{eqnarray}
  5. Es ist \({G}_{ {\mathcal M} }:=\hat{{\mathbb{C}}}\backslash {\mathcal M} \) ein Gebiet in \(\hat{{\mathbb{C}}}\).
  6. Jede Zusammenhangskomponente der Menge \({\mathcal{M}}\)° der inneren Punkte von \({\mathcal{M}}\) ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet.

Die Eigenschaft (2) kann dazu benutzt werden, eine grobe Computergraphik von \({\mathcal{M}}\) anzufertigen.

Jedem Pixel P entspricht eine komplexe Zahl c = x + iy mit x,y ∈ [−2, 2]. Für ein festes N ∈ ℕ (z. B. N = 25) berechnet man \({f}_{c}^{n}(0)\). Ist \(|{f}_{c}^{n}(0)|\gt 2\) für ein n ∈ {1, …, N}, so färbt man das Pixel P weiß, andernfalls schwarz.

Das Gebiet \({G}_{{\mathscr{M}}}\) hat große Ähnlichkeiten mit den Böttcher-Gebieten \({\mathscr{A}}(\infty )\) von Polynomen. Es existiert nämlich die Greensche Funktion von \({G}_{{\mathscr{M}}}\) mit Pol an ∞, und diese ist gegeben durch \begin{eqnarray}{g}_{{G}_{{\mathscr{M}}}}(w,\infty )=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{2}^{-n}\mathrm{log}|{f}_{w}^{n}(w)|.\end{eqnarray}

Insbesondere gilt für die Kapazität der Mandelbrot-Menge cap \({\mathscr{M}}=1\).

Weiter haben Douady und Hubbard (1982) gezeigt, daß \({G}_{{\mathscr{M}}}\) ein einfach zusammenhängendes Gebiet in \(\hat{{\mathbb{C}}}\) ist. Dazu wird eine konforme Abbildung ψ von \({G}_{{\mathscr{M}}}\) auf \(\Delta :=\{z\in \hat{{\mathbb{C}}}:|z|\gt 1\}\) wie folgt konstruiert. Es sei \({{\mathscr{A}}}_{w}(\infty )\) das BöttcherGebiet zum superattraktiven Fixpunkt ∞ von fw und φw die zugehörige Böttcher-Funktion. Dann ist ψ(w) ≔ φw(w) die gesuchte konforme Abbildung. Insbesondere ist also \({\mathscr{M}}\) eine zusammenhängende Menge.

Von besonderem Interesse sind die sog. hyperbolischen Komponenten von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\). Dazu sei \({\mathscr{H}}({\mathscr{M}})\) die Menge aller c ∈ ℂ derart, daß fc einen (super)attraktiven Zyklus besitzt. Dies ist eine offene Teilmenge von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\), und eine Zusammenhangskomponente von \({\mathscr{H}}({\mathscr{M}})\) heißt hyperbolische Komponente von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\).

Nun sei \({\mathscr{H}}\) eine hyperbolische Komponente von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\). Dann besitzt fc für jedes \(c\in {\mathscr{H}}\) einen (super) attraktiven Zyklus mit fester Länge p ∈ ℕ, und fc ist ein hyperbolisches Polynom. Bezeichnet \({\lambda }_{{\mathscr{H}}}(c)\) für \(c\in {\mathscr{H}}\) den Multiplikator des zugehörigen Zyklus von fc, so haben Douady und Hubbard (1984) gezeigt, daß \({\lambda }_{{\mathscr{H}}}\) eine konforme Abbildung von \({\mathscr{H}}\) auf \({\mathbb{E}}=\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\lt 1\}\) liefert. Diese kann zu einem Homöomorphismus von \(\overline{{\mathscr{H}}}\) auf \(\overline{{\mathbb{E}}}\) fortgesetzt werden, und der Rand \(\partial {\mathscr{H}}\) ist eine stückweise analytische Jordan-Kurve. Weiter enthält \({\mathscr{H}}\) genau einen Punkt c0 mit \({\lambda }_{{\mathscr{H}}}({c}_{0})=0\), den man das Zentrum von \({\mathscr{H}}\) nennt. Die Funktion \({f}_{{c}_{0}}\) besitzt dann einen superattraktiven Zyklus. Schließlich enthält \(\partial {\mathscr{H}}\) genau einen Punkt c1 mit \({\lambda }_{{\mathscr{H}}}({c}_{1})=1\), den man die Wurzel von \({\mathscr{H}}\) nennt. Je zwei hyperbolische Komponenten von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\) haben höchstens einen Randpunkt gemeinsam. Jeder Punkt von \(\partial {\mathscr{M}}\) ist ein Häufungspunkt von Zentren hyperbolischer Komponenten von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\). Hieraus folgt insbesondere, daß \(\overline{{{\mathscr{M}}}^{\circ }}={\mathscr{M}}\).

Ist \({\mathscr{H}}\) eine hyperbolische Komponente von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\), so ist \(\partial {\mathscr{H}}\subset \partial {\mathscr{M}}\). Andererseits existieren Punkte \(c\in \partial {\mathscr{M}}\), die nicht Randpunkte einer hyperbolischen Komponente von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\) sind. Solche Punkte sind z. B. die sog. Misiurewicz-Punkte. Diese haben die Eigenschaft, daß 0 ein strikt präperiodischer Punkt von fc ist, d. h. es existieren m, k ∈ ℕ mit m >k, \({f}_{c}^{m}(0)={f}_{c}^{k}(0)\) und \({f}_{c}^{n}(0)\ne 0\) für alle n ∈ ℕ. Zum Beispiel sind c = ±i und c = −2 Misiurewicz-Punkte. Für jeden Misiurewicz-Punkt c ist der Orbit O+(0) unter fc eine endliche Menge, und die Julia-Menge \({{\mathscr{J}}}_{c}\) ist ein Dendrit. Für c = −2 ist \({{\mathscr{J}}}_{c}=[-2,2]\). Die Misiurewicz-Punkte liegen dicht in \(\partial {\mathscr{M}}\). Ist c ∈ ℂ ein Punkt derart, daß der Orbit O+(0) unter fc endlich ist, so ist c ein Zentrum einer hyperbolischen Komponente von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\) oder ein Misiurewicz-Punkt.

Die Hauptkardioide \({{\mathscr{H}}}_{0}\) ist eine hyperbolische Komponente von \({\mathscr{M}}\) mit Zentrum c0 = 0 und Wurzel \({c}_{1}=\frac{1}{4}\). Für jedes \(c\in {{\mathscr{H}}}_{0}\) besitzt fc einen (super)attraktiven Fixpunkt, und \({{\mathscr{H}}}_{0}\) ist die einzige hyperbolische Komponente von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\) mit dieser Eigenschaft. Man kann zeigen, daß die Julia-Menge \({{\mathscr{J}}}_{c}\) für jedes \(c\in {{\mathscr{H}}}_{0}\) eine quasikonforme Kurve ist. Eine weitere hyperbolische Komponente von \({\mathscr{M}}\) ist die offene Kreisscheibe B1/4(−1). Das Zentrum ist gegeben durch c0 = −1 und die Wurzel durch \({c}_{1}=-\frac{3}{4}\). Es ist B1/4(−1) die Menge derjenigen c ∈ ℂ derart, daß fc einen (super)attraktiven Zyklus der Länge 2 besitzt. Für Zyklen der Länge 3, 4 bzw. 5 existieren mehrere zugehörige hyperbolische Komponenten, nämlich 3, 6 bzw. 15.

Nun soll die Hautkardioide \({{\mathscr{H}}}_{0}\) genauer betrachtet werden. Der zugehörige Multiplikator wird mit λ0 bezeichnet. Es gilt \({\lambda }_{0}^{-1}(z)=\frac{z}{2}-{(\frac{z}{2})}^{2}\). Hieraus erhält man für die Randkurve von \({{\mathscr{H}}}_{0}\) die Parameterdarstellung \({\gamma }_{0}(t)={\lambda }_{0}^{-1}({e}^{2\pi it})\), t ∈ [0,1). Ist t = p/q rational mit teilerfremden Zahlen p, q ∈ ℕ, q ≥ 2, so existiert eine hyperbolische Komponente Hp/q von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\) derart, daß \({\overline{{\mathscr{H}}}}_{p/q}\cap {\overline{{\mathscr{H}}}}_{0}={\gamma }_{0}(p/q)\). Der Punkt γ0(p/q) ist die Wurzel von \({{\mathscr{H}}}_{p/q}\). Bildlich gesprochen bedeutet dies, daß auf einer abzählbaren, dichten Menge des Randes von \({{\mathscr{H}}}_{0}\) weitere „Früchte“ an dem „Hauptapfel“ hängen. Zum Beispielist W1/2 = B1/4(−1). Fürjedes \(c\in {{\mathscr{H}}}_{p/q}\) besitzt fc einen attraktiven Zyklus der Länge q. Während die Randkurve von \({{\mathscr{H}}}_{0}\) eine Spitze an der Wurzel \(\frac{1}{4}\) hat, sind die Randkurven von \({{\mathscr{H}}}_{p/q}\) glatt.

Es bezeichne \({{\mathscr{M}}}_{p/q}^{* }\) diejenige Zusammenhangskomponente von \({\mathscr{M}}\backslash {\overline{{\mathscr{H}}}}_{0}\), die die Menge \({{\mathscr{H}}}_{p/q}\) enthält. Dann ist der Ast \({{\mathscr{M}}}_{p/q}\) von \({\mathscr{M}}\) zum Argument t = p/q definiert durch \begin{eqnarray}{{\mathscr{M}}}_{p/q}:={{\mathscr{M}}}_{p/q}^{* }\cup \{{\gamma }_{0}(p/q)\}.\end{eqnarray}

Man kann zeigen, daß \begin{eqnarray}{\mathscr{M}}={\overline{{\mathscr{H}}}}_{0}\cup \displaystyle \mathop{\cup }\limits_{p/q}{{\mathscr{M}}}_{p/q}.\end{eqnarray}

Anschaulich bedeutet dies, daß aus einer abzählbaren, dichten Menge des Randes von \({{\mathscr{H}}}_{0}\) „Äste“ herauswachsen, die zusammen mit der Hauptkardioide die gesamte Mandelbrot-Menge ergeben.

Dieses Verfahren kann man unendlich oft fortsetzen, d. h. auf einer abzählbaren, dichten Menge des Randes von jedem \({{\mathscr{H}}}_{p/q}\) sitzen wieder weitere „Früchte“ (hyperbolische Komponenten von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\)) bzw. „Äste“. Alle Randkurven der auf diese Weise entstehenden hyperbolischen Komponenten von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\) sind glatt. Es existieren jedoch auch hyperbolische Komponenten von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\), die nicht auf diese Art entstehen. Deren Randkurven besitzen jeweils eine Spitze an der Wurzel. Betrachtet man z. B. die offene Teilmenge W von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\) derart, daß fc für cW einen (super)attraktiven Zyklus der Länge 3 besitzt, so besteht diese aus drei hyperbolischen Komponenten W1, W2, W3. Deren Zentren z1, z2, z3 sind gegeben durch die Nullstellen der kubischen Gleichung z3 + 2z2 + z +1 = 0. Man erhält z1 ≈ −1, 75488 und z2,3 ≈ −0,12256 ± 0.74486i. Es gilt \({W}_{2}={{\mathscr{H}}}_{1/3}\) und \({W}_{3}={{\mathscr{H}}}_{2/3}\). Daher sind die Randkurven von W2 und W3 glatt, während die von W1 eine Spitze an der Wurzel besitzt.

Abschließend wird noch auf zwei Vermutungen eingegangen, die bislang (2000) unbewiesen sind.

(V1) Es ist \(\partial {\mathscr{M}}\) eine Kurve.

(V2) Es gilt \({\mathscr{H}}({\mathscr{M}})={{\mathscr{M}}}^{\circ }\), d.h. jede Zusammenhangskomponente von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\) ist hyperbolisch.

Man kann zeigen: Falls (V1) richtig ist, so auch (V2). Äquivalent zu (V1) ist die Frage, ob die Umkehrabbildung ψ−1 der obigen konformen Abbildung ψ von \({G}_{{\mathscr{M}}}\) auf ∆ stetig auf \(\overline{{\rm{\Delta }}}\) fortgesetzt werden kann. Hierzu liegen bisher nur Teilergebnisse vor. Der folgende Satz stammt von Douady und Hubbard (1984).

Für jede rationale Zahl t = p/q ∈ (0, 1] mit teilerfremden Zahlen p, q ∈ ℕ existiert der radiale Grenzwert \begin{eqnarray}{c}_{t}:=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{r\to 1+}{\psi }^{-1}(r{e}^{2\pi it})\in \partial {\mathscr{M}}.\end{eqnarray}

Weiter gilt:

  1. Ist q gerade, so ist ct ein Misiurewicz-Punkt.
  2. Ist q ungerade, so ist ct die Wurzel einer hyperbolischen Komponente von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\).

Die Menge St ≔ {ψ−1(re2πit) : 1 < r < ∞} nennt man auch einen externen Strahl von \({\mathscr{M}}\), und die Aussage des obigen Satzes drückt man dann wie folgt aus: Ist t rational, so landet der externe Strahl St auf \(\partial {\mathscr{M}}\). Einige Beispiele für die Landepunkte ct:

  1. \({c}_{0}={c}_{1}=\frac{1}{4}\). Dies ist die Wurzel der Hauptkardioide \({{\mathscr{H}}}_{0}\).
  2. c1/2 = −2.
  3. \({c}_{1/3}={c}_{2/3}=-\frac{3}{4}\). Dies ist die Wurzel der hyperbolischen Komponente \({{\mathscr{H}}}_{1/2}={B}_{1/4}(-1)\).
  4. c1/6 = i, c5/6 = −i.
  5. c1/7 = c2/7 = γ0(1/3), \({c}_{5/6}={c}_{6/7}={\gamma }_{0}(2/3)=\overline{{\gamma }_{0}(1/3)}\). Dies sind die Wurzeln der hyperbolischen Komponenten \({{\mathscr{H}}}_{1/3}\) bzw. \({{\mathscr{H}}}_{2/3}\). Weiter ist c3/7 = c4/7 die Wurzel der hyperbolischen Komponente W1 mit Periode 3 und Zentrum z1 ≈ −1,75488.

Schließlich sei noch erwähnt, daß die Hausdorff-Dimension von \(\partial {\mathscr{M}}\) gleich 2 ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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