hinreichende Bedingung dafür, daß ein lokaler Minimalpunkt ein Karush-Kuhn-Tucker-Punkt ist.

Es seien Funktionen f, h_i, g_j ∈ C^k (ℝⁿ, ℝ) mit k ≥ 1 gegeben, wobei I und J endliche Indexmengen seien. Weiter sei \begin{eqnarray}M:=\{x\in {{\mathbb{R}}}^{n}|{h}_{i}(x)=0,i\in I;{g}_{j}(x)\ge 0,j\in J\}.\end{eqnarray}

Ein Punkt \(\overline{x}\) erfüllt die Mangasarian-Fromovitz-Bedingung (auch Mangasarian-Fromovitz-Constraint-Qualification MFCQ), wenn gilt:

Es folgt dann der Satz:

Seien die f, h_i, g_j und M wie oben und sei \(\overline{x}\)ein lokaler Minimalpunkt von f_|M. Ist die Mangasarian-Fromovitz-Bedingung in \(\overline{x}\) erfüllt, dann ist \(\overline{x}\)ein Karush-Kuhn-Tucker-Punkt.

Die Mangasarian-Fromovitz-Bedingung verlangt eine Art positive lineare Unabhängigkeit: Mittels sogenannter Alternativsätze zur Lösung linearer Ungleichungssysteme (Farkas, Satz von) läßt sich zeigen, daß die Mangasarian-Fromovitz-Bedingung genau dann in \(\overline{x}\) erfüllt ist, wenn aus der Gültigkeit der Gleichung \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i\in I}{\lambda }_{i}\cdot D{h}_{i}(\overline{x})+\displaystyle \sum _{j\in {J}_{0}(\overline{x})}{\mu }_{i}\cdot D{g}_{i}(\overline{x})=0\end{eqnarray} mit λ_i ∈ ℝ, μ_j ≥ 0 schon stets μ_i = 0, i ∈ I, μ_j = 0, \(j\in {J}_{0}(\overline{x})\) folgt. Die Bedingung ist eine schwächere als die lineare Unabhängigkeitsbedingung. Für kompaktes M ist die Gültigkeit der MFCQ für alle x ∈ M zur topologischen Stabilität von M äquivalent.