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Lexikon der Mathematik: Maß einer Menge

verallgemeinert Begriffe wie etwa Länge, Flächeninhalt, Kurvenlänge, Oberflächeninhalt, Volumen, Anzahl, Masse, Ladung und Wahrscheinlichkeit.

Speziell für den ℝn (n ∈ ℕ) ist es weitgehend Standard, die auf Henri Lebesgue (1875–1941) zurückgehende Maßtheorie zu betrachten: Das Lebesgue-Maß ist – mit der Menge \({\mathbb{M}}\) der Lebesgue-meßbaren Mengen (endlichen Maßes) – eine Abbildung \(\mu :{\mathbb{M}}\to [0,\infty )\), die abzählbar additiv ist, d. h. für Mengen aus \({\mathbb{M}}\) gilt: \begin{eqnarray}\text{Aus}\,M=\displaystyle \biguplus_{v=1}^\infty {M}_{v}\,\,\text{folgt}\,\,\mu (M)=\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }\mu ({M}_{v}).\end{eqnarray}

Mit dem entsprechenden Integralbegriff kann das Maß einer meßbaren Menge \({\mathfrak{G}}\) durch \begin{eqnarray}\mu ({\mathfrak{G}})=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathfrak{G}}}dx\end{eqnarray} beschrieben werden. Die besondere Leistungsfähigkeit der Maß- und Integrationstheorie nach Lebesgue beruht u. a. auf den Konvergenzsätzen, die die Behandlung von Grenzübergängen (bei Mengen und Funktionen) wesentlich erleichtern.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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