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Lexikon der Mathematik: Matrix

rechteckige Anordnung von Elementen einer Grundmenge G (meist eines Körpers oder eines Ringes) der Form \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n}\\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n}\\ \vdots & & & \vdots \\ {a}_{m1} & {a}_{m2} & \cdots & {a}_{mn}\end{array}\right)\end{eqnarray} (bzw. \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & \cdots \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & \cdots \\ \vdots & & & \vdots \\ \vdots & \vdots & \cdots & \ddots \end{array}\right)\end{eqnarray} im unendlichen Fall); man spricht dann von einer Matrix über G.

Die aij heißen Elemente oder Komponenten der Matrix. Die m horizontalen n-Tupel (a11, a12, …, a1n), …, (am1, am2, …, amn) heißen Zeilen(vektoren) von A, die n senkrechten \begin{eqnarray}m\text{-Tupel}\,\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\\ \vdots \\ {a}_{m1}\end{array}\right),\ldots, \left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ {a}_{2n}\\ \vdots \\ {a}_{mn}\end{array}\right)\text{Spalten}(\text{vektoren})\end{eqnarray} oder auch Kolonnen von A, entsprechend heißt m die Zeilenzahl von A und n die Spaltenzahl. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten wird als (m × n)-Matrix bezeichnet. Für eine (m × n)-Matrix A mit Komponenten aij schreibt man auch ((aij)) oder manchmal auch genauer ((aij))m, n; i heißt dabei Zeilenindex von A und j Spaltenindex.

Jedes Teilschema, das man durch Streichen von Zeilen und Spalten aus einer Matrix A erhält, heißt Untermatrix von A; beispielsweise ist eine Zeile eine Untermatrix, eine sogenannte Zeilenmatrix. Entsprechend wird eine Spalte als Spaltenmatrix bezeichnet.

Bezeichnet werden Matrizen meist mit großen lateinischen Buchstaben: A, B, …, M, N, …. Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie vom gleichen Typ sind (d. h. wenn sie gleich viele Zeilen und Spalten haben) und elementweise übereinstimmen.

Ist G ein Körper, dann wird die oft mitM(m×n, G) bezeichnete Menge aller (m × n)-Matrizen über G mit der elementweise definierten Matrizenaddition und der ebenfalls elementweise definierten Skalarmultiplikation zu einem Vektorraum über G der Dimension m · n.

(m × n)-Matrizen über einem Körper \({\mathbb{K}}\) werden häufig dazu benutzt, lineare Abbildungen von einem n-dimensionalen \({\mathbb{K}}\)-Vektorraum in einen m-dimensionalen \({\mathbb{K}}\)-Vektorraum bezüglich fest gewählter Basen der Vektorräume zu repräsentieren: Sind V und U Vektorräume über \({\mathbb{K}}\) mit den Basen B1 ≔ (v1, …, vn) und B2 ≔ (u1, …, um), und ist f : VU linear, so heißt die Matrix A = (aij) mit f(vi) = a1iu1 + … + amium (1 ≤ in) Matrixdarstellung (oder Darstellungsmatrix) von f bzgl. der Basen B1 und B2 (in der i-ten Spalte von A stehen die Koordinaten des Bildes des i-ten Basisvektors von V bzgl B2). Der Koordinatenvektor bzgl. B2 des Bildes eines Koordinatenvektors a = (a1, …, an) eines Vektors vV bzgl. B1 ist dann gegeben durch Aa.

Jede (m × n)-Matrix repräsentiert in diesem Sinne bzgl. fest gewählter Basen genau eine lineare Abbildung; die (m × n)-Matrizen über \({\mathbb{K}}\) entsprechen somit bzgl. fest gewählter Basen umkehrbar eindeutig den linearen Abbildungen eines n-dimensionalen \({\mathbb{K}}\)-Vektorraumes in einen m-dimensionalen \({\mathbb{K}}\)-Vektorraum.

Beschreiben die (m × n)-Matrix A1 und die (n × p)-Matrix A2 bzgl. fest gewählter Basen in V, U und W die linearen Abbildungen f1: VU und f2 : UW, so beschreibt die (m × p)-Matrix \begin{eqnarray}A:={A}_{1}{A}_{2}\end{eqnarray} die lineare Abbildung \begin{eqnarray}{f}_{2}\circ {f}_{1}:V\to W\end{eqnarray} bzgl. der in V und W gewählten Basen. Zwei Matrizen A1 und A2 beschreiben genau dann die gleiche lineare Abbildung bzgl. geeigneter Basen, wenn reguläre Matrizen P und Q existieren mit \begin{eqnarray}{A}_{1}=P{A}_{2}Q.\end{eqnarray}

Durch geeignete Wahl zweier Basen kann die eine lineare Abbildung repräsentierende Matrix evtl. sehr einfache Gestalt annehmen (Jordansche Normalform).

Ist \(\beta :V\times V\to {\mathbb{K}}\) eine Bilinearform auf dem endlich-dimensionalen \({\mathbb{K}}\)-Vektorraum V mit der Basis B = (v1, …, vn), so heißt die (n × n)-Matrix \begin{eqnarray}A:=(\beta ({v}_{i},{v}_{j}))\end{eqnarray}

Matrixdarstellung der Bilinearform β bzgl. (v1, …, vn). Sind die Koordinatenvektoren der Vektoren u1 und u2V mit a bzw. b bezeichnet, so ist das Bild β(u1, u2) gegeben durch \begin{eqnarray}{a}^{t}Ab.\end{eqnarray}

Mit unendlichen Matrizen (Matrizen mit unendlich vielen Zeilen und/oder Spalten) lassen sich auch lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen darstellen. Eine unendliche Matrix heißt zeilenfinit, falls sie in jeder Zeile nur endlich viele von Null verschiedene Einträge aufweist; im anderen Fall wird die Matrix als zeileninfinit bezeichnet. Entsprechend sind die Begriffe spaltenfinit und spalteninfinit zu verstehen. Eine (unendliche) Matrix, die in jeder Zeile und in jeder Spalte höchstens einen von Null verschiedenen Eintrag aufweist, wird auch als solitär bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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