Darstellung eines Operators zwischen Banachräumen durch eine unendliche Matrix.

Seien X und Y Banachräume mit Schauder-Basen (e_n) bzw. (f_n) und T ein stetiger linearer Operator. Die Koeffizientenfunktionale zur Basis (f_n) seien mit \({f}_{n}^{\text{'}}\) bezeichnet, d. h. \begin{eqnarray}y=\displaystyle \sum _{n}{f}_{n}^{\text{'}}(y){f}_{n}\end{eqnarray} für alle y ∈ Y. Dann kann man T die unendliche Matrix (a_n,m)_{n,m = 1, 2, …} mit den Einträgen \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{a}_{n,m}={f}_{n}^{\text{'}}(T{e}_{m})\end{array}\end{eqnarray} zuordnen. Im Fall von Hilberträumen und Orthonormalbasen wird (1) zu \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{a}_{n,m}=\langle T{e}_{m},{f}_{n}\rangle.\end{array}\end{eqnarray}

Es gibt höchstens einen stetigen linearen Operator mit der Matrixdarstellung (a_n,m), aber nicht jede unendliche Matrix ist die Matrix eines stetigen Operators.