oft mit ≈ bezeichnete Äquivalenzrelation auf der Menge aller (n × n)-Matrizen über \({\mathbb{K}}\) mit A₁ ≈ A₂ genau dann, falls eine reguläre (n × n)-Matrix R existiert, so daß \begin{eqnarray}{A}_{1}=R{A}_{2}{R}^{-1}.\end{eqnarray}

Zwei Matrizen, die denselben Endomorphismus f : V → V des endlich-dimensionalen Vektorraumes V bezüglich zweier Basen (Basis eines Vektorraumes) von V repräsentieren, sind ähnlich zueinander, liegen also in derselben Äquivalenzklasse bzgl. ≈. Umgekehrt repräsentieren zueinander ähnliche Matrizen bzgl. geeigneter Basen denselben Endomorphismus.

Zueinander ähnliche Matrizen haben die gleiche Spur, die gleiche Determinante, das gleiche charakteristische Polynom und die gleichen Eigenwerte. Ähnliche Matrizen sind auch äquivalent (Matrizenäquivalenz), die Umkehrung ist i. allg. aber falsch. Das Problem der Aufstellung einer „möglichst einfachen“ Normalform in jeder Äquivalenzklasse aller zueinander ähnlichen Matrizen wird befriedigend durch die Jordansche Normalform gelöst.

Ist A vermöge der Matrix P ähnlich zu der Diagonalmatrix D = diag(d₁, …, d_n) (D = P⁻¹AP), d. h. ist A diagonalisierbar, so kann mit A besonders einfach gerechnet werden; für jedes Polynom f gilt dann: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}f(A) & = & Pf(D){P}^{-1}\\ & = & P\cdot \text{diag}(f({d}_{1}),\ldots, f({d}_{n}))\cdot {P}^{-1}.\end{array}\end{eqnarray}

Sind alle Diagonalelemente d_i nicht negativ, so gilt mit der Matrix \(B=P\cdot \text{diag}(\sqrt{{d}_{1}},\ldots, \sqrt{{d}_{n}})\cdot {P}^{-1}\) : \begin{eqnarray}A={B}^{2},\end{eqnarray} d. h. B ist eine „Wurzel“ von A.

Entsprechend heißen zwei Endomorphismen ϕ₁ und ϕ₂ auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum V ähnlich zueinander, falls ein Automorphismus ϕ auf V existiert so, daß gilt: \begin{eqnarray}{\varphi }_{2}=\varphi \circ {\varphi }_{1}\circ {\varphi }^{-1}.\end{eqnarray}